Question

【題目】某環(huán)保器材公司銷售一種市場需求較大的新型產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元，經(jīng)銷過程中測出銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支z（萬元）（不含進(jìn)價(jià)）與年銷量y（萬件）存在函數(shù)關(guān)系z=10y+42.5．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）寫出該公司銷售該種產(chǎn)品年獲利w（萬元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（年獲利=年銷售總金額一年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)一年總開支金額）當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí)，年獲利最大?最大值是多少?

（3）若公司希望該產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于57.5萬元，請你利用（2）小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)的范圍．在此條件下要使產(chǎn)品的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)x=85元時(shí)，年獲利最大值為80萬元；（3）銷售單價(jià)定為70元

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)圖像，可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）依據(jù)題意，年利潤=單件利潤×銷量－年總開支，將y用x表示，可得出w與x的二次函數(shù)關(guān)系，再利用配方法得到最值；

（3）令二次函數(shù)的w的值大于等于57.5，求得x的取值范圍，根據(jù)要使銷量最大，確定最終x的值．

（1）根據(jù)函數(shù)圖像，有點(diǎn)(70，5)和(90，3)

設(shè)函數(shù)解析式為：y=kx+b

則5=70x+b，3=90x+b

解得：k=，b=12

∴y=

（2）根據(jù)題意：w=(x-40)

化簡得：w=

變形得：w=

∴當(dāng)x=85時(shí)，可取得最大值，最大值為：80

（3）根據(jù)題意，則w≥57.5

化簡得：≥0

(－x+70)(x－100)≥0

70≤x≤100

∵要使銷量最多，∴x=70