Question

8．已知，AG是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AB是⊙O的弦，過點(diǎn)B作BC∥AG交⊙O于點(diǎn)C，連接AO并延長交BC于點(diǎn)M
（Ⅰ）如圖1，若BC=10，求BM的長；
（Ⅱ）如圖2，連接AC，過點(diǎn)C作CD∥AB交AG于點(diǎn)D，AM的延長線交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且∠BCP=∠ACD．求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)得出AG⊥AM，由BC∥AG，得出AM⊥BC，由垂徑定理即可得出結(jié)果；
（2）過C點(diǎn)作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論．

解答 （1）解：∵AG是⊙O的切線，
∴AG⊥AM，
∵BC∥AG，
∴AM⊥BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=5；
（2）證明：如圖所示，過C點(diǎn)作直徑CE，連接EB．
∵CE為直徑，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC是⊙O的切線．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．