Question

已知長方形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，現(xiàn)有兩只螞蟻P和Q同時分別從A、B出發(fā)，沿AB-BC-CD-DA方向前進(jìn)，螞蟻P每秒鐘走1cm，螞蟻Q每秒鐘走2cm．問：
（1）螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行幾秒？
（2）P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬袔酌牒�，直線PQ與邊AB平行？
（3）若螞蟻繼續(xù)不停地爬行下去，直線PQ還可能與邊AB平行嗎？若可能，請求出PQ與邊AB平行時間規(guī)律；若不可能，請說明為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),平行線的判定,等腰三角形的判定

專題：幾何動點(diǎn)問題,數(shù)形結(jié)合,方程思想

分析：（1）首先設(shè)螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒，可得方程：10-t=2t，解此方程即可求得答案；
（2）首先設(shè)P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬衳秒后，直線PQ∥AB，可得方程：x-10=50-2x，解此方程即可求得答案；
（3）由經(jīng)過20秒P、Q兩只螞蟻分別在BC，AD的中點(diǎn)；經(jīng)過30秒P、Q兩只螞蟻分別在C點(diǎn)B點(diǎn)；經(jīng)過40秒P、Q兩只螞蟻分別在D點(diǎn)C點(diǎn)；經(jīng)過50秒P、Q兩只螞蟻同在AD中點(diǎn)；經(jīng)過60秒兩只螞蟻回到原點(diǎn)的位置．即可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒，
∵四邊形ABCD是長方形，
∴∠B=90°，
∴BP=BQ，
∵AP=tcm，BQ=2tcm，則PB=AB-AP=10-t（cm），
∴10-t=2t，
解得：t=

10

3

，
∴螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行

10

3

秒；

（2）設(shè)P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬衳秒后，直線PQ∥AB，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴AQ=BP，
∴x-10=50-2x，
解得：x=20，
∴P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬?0秒后，直線PQ∥AB；

（3）∵經(jīng)過20秒P、Q兩只螞蟻分別在BC，AD的中點(diǎn)；
經(jīng)過30秒P、Q兩只螞蟻分別在C點(diǎn)B點(diǎn)；
經(jīng)過40秒P、Q兩只螞蟻分別在D點(diǎn)C點(diǎn)；
經(jīng)過50秒P、Q兩只螞蟻同在AD中點(diǎn)；
經(jīng)過60秒兩只螞蟻回到原點(diǎn)的位置．
∴在出發(fā)20秒后直線PQ第一次與AB平行，以后每隔60秒形成一次平行．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．