Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點C（0，-3），對稱軸為直線x=1，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線解析式和頂點D的坐標；
（2）求拋物線與x軸的兩交點A、B的坐標；
（3）你可以直接寫出不等式x²-2x-3＜0的解集嗎？

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)與不等式（組）

專題：計算題

分析：（1）把C點坐標代入二次函數(shù)解析式可確定c=-3，再利用對稱軸方程可確定b=-2，則拋物線解析式為y=x²-2x-3；然后配成頂點式可得到D點坐標；
（2）解方程x²-2x-3=0可確定A點和B點坐標；
（3）當-1＜x＜3時，y＜0，即x²-2x-3＜0．

解答：解：（1）根據(jù)題意得x=-

b

2

=1，0+c=-3，解得b=-2，c=-3
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點D的坐標為（1，-4）；
（2）當y=0時，x²-2x-3=0，解得x₁=3，x₂=-1
∴A、B的坐標分別為（-1，0）、（3，0）；
（3）x²-2x-3＜0的解集為-1＜x＜3．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)；△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．