Question

16．如圖1，拋物線l₁；y=ax²+bx+c（a＜0）經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且直線OA的解析式為y=x．

（1）如圖1，求拋物線l₁的解析式；
（2）如圖2，將拋物線l₁繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線l₂，l₂與x軸交于點(diǎn)B′，頂點(diǎn)為A′，點(diǎn)P為拋物線l₁上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO交l₂于點(diǎn)Q，連接PA、PA′、QA′、QA．
請(qǐng)求：平行四邊形PAQA′的面積S與P點(diǎn)橫坐標(biāo)x（2＜x≤4）之間的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，如圖11-3，連接BA′，拋物線l₁或l₂上是否存在一點(diǎn)H，使得HB=HA′？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)O、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得OD的長(zhǎng)，根據(jù)A在直線y=x上，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得S_{平行四邊形PAQA′}=4S_△AOP，根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的橫坐標(biāo)減較小的橫坐標(biāo)，可得PF的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積，可得答案；
（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得H在線段A′B的垂直平分線上，根據(jù)解方程組，可得H點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，

過A作AD⊥OB于D點(diǎn)，
∵拋物線l₁：y=ax²+bx+c（a＜0）過原點(diǎn)和B（4，0）．
頂點(diǎn)為A．OD=$\frac{1}{2}$OB=2．
又∵直線OA的解析式為y=x，
∴AD=OD=2．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c（a＜0）中，
$\left\{\begin{array}{l}{2a+2b=2}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線C的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
（2）如圖2，
，
∵AO=A′O，PO=OQ，
∴四邊形PAQA′是平行四邊形，
∴S_{平行四邊形PAQA′}=4S_△AOP．
過點(diǎn)P作PE⊥y軸于E交AO于F．
設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x），則F（-$\frac{1}{2}$x²+2x，-$\frac{1}{2}$x²+2x），
若P點(diǎn)在拋物線AB段（2＜x≤4）時(shí)，S_△AOP=$\frac{1}{2}$|x_P-x_F|×|y_A|=$\frac{1}{2}$[x-（-$\frac{1}{2}$x²+2x）]×2=$\frac{1}{2}$x²-x，
則S_{平行四邊形PAQA′}=4S_△AOP=2x²-4x（2＜x≤4）；
（3）如圖3，
，
作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得l₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)A′（-2，-2），
故A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)（1，-1）．
作MT⊥x軸于T，在Rt△NMB中，MT⊥NB于T，
∠NMT+∠BMT=90°，∠TBM+∠BMT=90°，
∴∠NMT=∠TBM，
又∵∠NTM=∠BTM=90°，
∴△MTN∽△BTM，
$\frac{TN}{TM}$=$\frac{TM}{TB}$，
MT²=TN•TB，即1²=（1-n）（4-1）．
∴n=$\frac{2}{3}$，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）．
直線l過點(diǎn)M（1，-1）、N（$\frac{2}{3}$，0），
∴直線l的解析式為y=-3x-2．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，得x=5$±\sqrt{21}$．
在拋物線l₁上存在兩點(diǎn)使得HB=HA′，其坐標(biāo)分別為（5+$\sqrt{21}$，-13-3$\sqrt{21}$），（5-$\sqrt{21}$，-13-3$\sqrt{21}$）．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$得x=-5$±\sqrt{29}$，在拋物線l₂上存在兩點(diǎn)使得HB=HA′，其坐標(biāo)分別為（-5+$\sqrt{29}$，17-3$\sqrt{29}$），（-5-$\sqrt{29}$，17+3$\sqrt{29}$）；
綜上所述：（5+$\sqrt{21}$，-13-3$\sqrt{21}$），（5-$\sqrt{21}$，-13-3$\sqrt{21}$），（-5+$\sqrt{29}$，17-3$\sqrt{29}$），（-5-$\sqrt{29}$，17+3$\sqrt{29}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等點(diǎn)關(guān)于關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出OD是解題關(guān)鍵；利用平行四邊形的性質(zhì)得出S_{平行四邊形PAQA′}=4S_△AOP是解題關(guān)鍵；利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得出H在線段A′B的垂直平分線上是解題關(guān)鍵，又利用了解方程組得出H點(diǎn)的坐標(biāo)．