Question

13．綜合與實踐：
問題情景：已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，點M，N分別是DB，EC的中點，連接MN．
問題：
（1）如圖1，當(dāng)點E在AB上，且點C和點D恰好重合時，探索MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，當(dāng)點D在AB上，點E在△ABC外部時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．
拓展探究：
（3）如圖3，將圖2中的等腰Rt△AED繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90），請猜想MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．（不必證明）

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，得出得出MN與EC的數(shù)量關(guān)系；
（2）先連接EM并延長至點F，使MF=EM，判定△EDM≌△FBM，進而運用SAS判定△EAC≌△FBC，即可得出FC=EC，再利用三角形中位線定理，得出MN與FC的數(shù)量關(guān)系，進而得出結(jié)論；
（3）先延長DN到G，使DN=GN，連接CG，延長DE、CA交于點K，再通過判定△EDN≌△CGN和△CAE≌△BCG，進而得出結(jié)論．

解答 解：（1）MN與EC的數(shù)量關(guān)系為MN=$\frac{1}{2}$EC，
證明：∵點M，N分別是DB，EC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$EB，
∵等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°-45°=45°，
∴BE=CE，
∴MN=$\frac{1}{2}$EC；

（2）成立
證明：如圖2，連接EM并延長至點F，使MF=EM，連接CF，BF，
在△EDM和△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=BM}\\{∠EMD=∠FMB}\\{EM=FM}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△FBM（SAS），
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM，
∵△AED為等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=∠ABC=45°，AC=BC，
∴∠FBM=∠EDM=135°，
∴∠FBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠EAC=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC，
又∵點M，N分別是EF，EC的中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$FC，
∴MN=$\frac{1}{2}$EC；

（3）MN與EC的位置關(guān)系為：MN⊥EC，數(shù)量關(guān)系為：MN=$\frac{1}{2}$EC．

點評 本題主要考查了幾何變換變換中的旋轉(zhuǎn)變換，解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)．解決此類試題時，需要靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)，并且需要經(jīng)過中點作輔助線構(gòu)造全等三角形．