Question

【題目】有一塊等腰三角形白鐵皮余料ABC，它的腰AB＝10cm，底邊BC＝12cm．

（1）圓圓同學想從中裁出最大的圓，請幫他求出該圓的半徑；

（2）方方同學想從中裁出最大的正方形，請幫他求出該正方形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形中裁出最大的圓的半徑為3cm；（2）等腰三角形中裁出最大的正方形的邊長為cm．

【解析】

（1）如圖1，⊙O為等腰△ABC的內(nèi)切圓，作AD⊥BC于D，利用等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD=6，利用勾股定理得AD=8，設(shè)⊙O的半徑為R，利用切線的性質(zhì)和三角形面積公式得到（AB+AC+BC）=AD×BC，從而可求出半徑r；

（2）如圖2，正方形EFGH為等腰△ABC的最大內(nèi)接正方形，作高AD交EH于M，設(shè)正方形的邊長為xcm，證明△AEH∽△ABC，利用相似比得到，然后解方程即可．

解：（1）如圖1，⊙O為等腰△ABC的內(nèi)切圓，作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD＝6，

在Rt△ABD中，AD＝＝8，

設(shè)⊙O的半徑為R，

∵S△ABC＝×r×（AB+AC+BC）＝AD×BC，

∴r＝＝3，

答：等腰三角形中裁出最大的圓的半徑為3cm；

（2）如圖2，正方形EFGH為等腰△ABC的最大內(nèi)接正方形，作高AD交EH于M，

設(shè)正方形的邊長為xcm，

由（1）得AD＝8，則AM＝8﹣x，

∵EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC，

∴，即，解得．

答：等腰三角形中裁出最大的正方形的邊長為cm．