Question

10．△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點C在x軸上，一角頂點B在y軸上．
（1）如圖①若AD⊥x軸，垂足為點D．點C坐標是（-1，0），點B的坐標是（0，2），求A點的坐標．
（2）如圖②，直角邊BC在兩坐標軸上滑動，若y軸恰好平分∠ABC，AC與y軸交于點D，過點A作AE⊥y軸于E，求證：BD=2AE．
（3）如圖③，直角邊BC在兩坐標軸上滑動，使點A在第四象限內(nèi)，過A點作AF⊥y軸于F，在滑動的過程中，兩個結論：①$\frac{CO-AF}{OB}$為定值；②$\frac{CO+AF}{OB}$為定值，只有一個結論成立，請你判斷正確的結論并求出定值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出，∠BCO=∠CAD，從而得出△ACD≌△CBO，求出AD=CO=1，DC=OB=2即可；
（2）先利用等腰三角形的判定得出AF=2AE，同（1）的方法判斷出△BCD≌△ACF，得出BD=AF即可；
（3）作AE⊥OC，同（1）方法判斷出△OBC≌△ECA得出OB=CE，最后結合圖形求出①個結論是定值．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCO=∠CAD，
在△ACD和△CBO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠COB}\\{∠ACD=∠BCO}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBO，
∴AD=CO=1，DC=OB=2，
∴OD=OC+CD=3，
∴A（-3，1）；
（2）如圖，

延長AE、BC交于點F，
∵y軸平分∠ABC，AE⊥y軸，
∴AE=EF，
∴AF=2AE，
∵AE⊥x軸，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠EAD+∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BDC+∠CBD=90°，
∴∠DAE=∠CBD，
在△BCD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠ACF=90°}\\{BC=AC}\\{∠CBD=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACF，
∴BD=AF，
∵AF=2AE，
∴BD=2AE；
（3）①$\frac{CO-AF}{OB}$為定值，理由：
如圖3，

作AE⊥OC于E，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
在△OBC和△ECA中$\left\{\begin{array}{l}{∠BOC=∠CEA}\\{∠OBC=∠ECA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$．
∴△OBC≌△ECA，
∴OB=CE，
∵AF=OE
∴①$\frac{CO-AF}{OB}$=$\frac{OE+EC-AF}{OB}$=$\frac{EC}{OB}$=1是定值，
②$\frac{CO+AF}{OB}$=$\frac{OE+EC+AF}{OB}$=$\frac{2AF+EC}{OB}$=$\frac{2AF}{OB}$+$\frac{EC}{OB}$=$\frac{2AF}{OB}$+1，而2AF與AB的關系不知，
∴②不是定值．
即：①$\frac{CO-AF}{OB}$為定值．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的判定和性質，角平分線的定義，解本題的關鍵是判斷出△ACD≌△CBO．