【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,D(0,8),將矩形OBCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.

(1)如圖①,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)A,若OD=2CP,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)若圖①中的點(diǎn) P 恰好是CD邊的中點(diǎn),求∠AOB的度數(shù).
(3)如圖②,在(I)的條件下,擦去折痕AO,線段AP,連接BP,動(dòng)點(diǎn)M在線段OP上(點(diǎn)M與P,O不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段OB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E,試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M,N在移動(dòng)過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,說(shuō)明理由;若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度(直接寫(xiě)出結(jié)果即可

【答案】
(1)

解:∵D(0,8),

∴OD=BC=8,

∵OD=2CP,

∴CP=4,

設(shè)OB=OP=DC=x,

則DP=x﹣4,

在Rt△ODP中,OD2+DP2=OP2,

即:82+(x﹣4)2=x2,

解得:x=10,

∵∠OPA=∠B=90°,

∴△ODP∽△PCA,

∴OD:PC=DP:CA,

∴8:4=(x﹣4):AC,

則AC= =3,

∴AB=5,

∴點(diǎn)A(10,5);


(2)

解:∵點(diǎn) P 恰好是CD邊的中點(diǎn),

設(shè)DP=PC=y,

則DC=OB=OP=2y,

在Rt△ODP中,OD2+DP2=OP2,

即:82+y2=(2y)2

解得:y=

∵∠OPA=∠B=90°,

∴△ODP∽△PCA,

∴OD:PC=DP:CA,

∴8:y=y:AC,

則AC= = ,

∴AB=8﹣ =

∵OB=2y= ,

∴tan∠AOB= = =

∴∠AOB=30°;


(3)

解:作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2,

∵AP=AB,MQ∥AN

∴∠APB=∠ABP=∠MQP.

∴MP=MQ,

∵BN=PM,

∴BN=QM.

∵M(jìn)P=MQ,ME⊥PQ,

∴EQ= PQ.

∵M(jìn)Q∥AN,

∴∠QMF=∠BNF,

在△MFQ和△NFB中,

,

∴△MFQ≌△NFB(AAS).

∴QF= QB,

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB,

由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,

∴PB= =4

∴EF= PB=2

∴在(1)的條件下,當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度不變,它的長(zhǎng)度為2


【解析】(1)設(shè)OB=OP=DC=x,則DP=x﹣4,在Rt△ODP中,根據(jù)OD2+DP2=OP2 , 解得:x=10,然后根據(jù)△ODP∽△PCA得到AC= =3,從而得到AB=5,表示出點(diǎn)A(10,5);(2)根據(jù)點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)設(shè)DP=PC=y,則DC=OB=OP=2y,在Rt△ODP中,根據(jù)OD2+DP2=OP2 , 解得:y= ,然后利用△ODP∽△PCA得到AC= = ,從而利用tan∠AOB= 得到∠AOB=30°;(3)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ= PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF= QB,再求出EF= PB,由(1)中的結(jié)論求出PB,最后代入EF= PB即可得出線段EF的長(zhǎng)度不變.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)在圖②,,,則 ;

(2)觀察圖,利用面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系,試說(shuō)明的正確性.其中兩個(gè)相同的直角三角形邊AE、EB在一條直線上;

(3)如圖所示,折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處,已知AB=8,BC=10,利用上面的結(jié)論求EF的長(zhǎng)

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B.4
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