Question

如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標系的原點，A、C兩點的坐標分別為（3，0），（0，5），點B在第一象限內(nèi)．

（1）如圖1，寫出點B的坐標（

 

）；
（2）如圖2，若過點C的直線CD交AB于點D，且把長方形OABC的周長分為3：1兩部分，則點D的坐標（

 

）；
（3）如圖3，將（2）中的線段CD向下平移，得到C′D′，使C′D′平分長方形OABC的面積，則此時點D′的坐標是（

 

）．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質(zhì),三角形的面積,坐標與圖形變化-平移

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的對邊相等可得BC=OA，AB=OC，然后寫出點B的坐標即可；
（2）先求出長方形OABC的周長，然后求出被分成兩個部分的長度，判斷出點D一定在AB上，再求出BD的長度即可得解；
（3）先用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，根據(jù)線段CD向下平移，得到C′D′，設(shè)處直線C′D′的解析式，再求出矩形OABC的中心坐標，代入直線C′D′的解析式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵A（3，0），C（0，5），
∴OA=3，OC=5，
∵四邊形OABC是長方形，
∴BC=OA=3，AB=OC=5，
∴點B的坐標為（3，5）．
故答案為（3，5）；

（2）長方形OABC的周長為：2（3+5）=16，
∵CD把長方形OABC的周長分為3：1兩部分，
∴被分成的兩部分的長分別為16×

3

1+3

=12，16×

1

1+3

=4，
①C→B→D長為4，點D一定在AB上，
∴BD=4-3=1，AD=5-BD=5-1=4，
∴點D的坐標為（3，4），
②C→B→A→O→D長為12時，點D在OC上，OD=1，不符合題意，
所以，點D的坐標為（3，4）．
故答案為（3，4）；

（3）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵C（0，5），D（3，4），
∴

b=5 3k+b=4

，解得

k=- 1 3 b=5

，
∴直線CD的解析式為y=-

1

3

x+5，
∵直線C′D′由直線CD平移而成，
∴設(shè)直線C′D′的解析式為y=-

1

3

x+5-a，
∵A（3，0），C（0，5），
∴矩形OABC的中心坐標為（

3

2

，

5

2

），
∵C′D′平分長方形OABC的面積，
∴直線C′D′過矩形OABC的中心，
∴

5

2

=-

1

3

×

3

2

+5-a，解得a=2，
∴D′（3，2）．
故答案為：（3，2）．

點評：本題考查的是坐標與圖形性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．