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已知：拋物線，對稱軸為直線，拋物線與y軸交于點，與軸交于、兩點．

   (1)求直線的解析式；

   (2)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值；

   (3)為拋物線上一點，若以線段為直徑的圓與直線切于點,求點的坐標．

 

【答案】

 

（1）

（2）

（3）

【解析】解：（1）∵對稱軸

        ∴            ……………………………………………………1分

        ∵ 

        ∴

設直線AC的解析式為

∵，, 代入得：

        直線的解析式為  ………………………………………2分

      （2）代數方法一：

過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N．

設，則…………………………………3分

        ∵

                       

              

              ……………………………………5分

        ∴當時，四邊形ABCD面積有最大值.

        代數方法二：

         

        =

        = ……………………………………5分

        ∴當時，四邊形ABCD面積有最大值.

       幾何方法：

       過點作的平行線，設直線的解析式為.

       由得：………………………………3分

       當時，直線與拋物線只有一個公共點

即：當時,△ADC的面積最大,四邊形ABCD面積最大

       此時公共點的坐標為        ………………………………4分

                        

=                                 ………………………………5分

       即：當時，四邊形ABCD面積有最大值.

（3）如圖所示，由拋物線的軸對稱性可求得（1，0）

        ∵以線段為直徑的圓與直線切于點

        ∴過點作的垂線交拋物線于一點，則此點必為點. 

       過點作軸于點， 可證Rt△PEB∽Rt△BOC

        ∴，故EB=3PE，……………………………………………………6分

        設，

        ∵B（1，0）

        ∴BE=1-x，PE=

        ，

         解得（不合題意舍去），  

         ∴P點的坐標為： .………………………………………………7分

 

練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

（2011•利川市一模）如圖，已知：拋物線y=ax2+bx-4（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，A、B兩點的坐標分別為A（-6，0）、B（2，0）．
（1）求這條拋物線的函數表達式；
（2）已知在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PB+PC的值最小，請求出點P的坐標；
（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E．連接PD、PE．設CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數關系式．試說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知：拋物線的對稱軸為與軸交于兩點，與軸交于點其中、

（1）求這條拋物線的函數表達式．

（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最�。埱蟪鳇cP的坐標．

（3）若點是線段上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作交軸于點連接、．設的長為，的面積為．求與之間的函數關系式．試說明是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知：拋物線，對稱軸為直線，拋物線與y軸交于點，與軸交于、兩點．
(1)求直線的解析式；
(2)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值；
(3)為拋物線上一點，若以線段為直徑的圓與直線切于點,求點的坐標．

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科目：初中數學 來源：2011屆北京市平谷區(qū)初三第一學期期末數學卷 題型：解答題

已知：拋物線，對稱軸為直線，拋物線與y軸交于點，與軸交于、兩點．
(1)求直線的解析式；
(2)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值；
(3)為拋物線上一點，若以線段為直徑的圓與直線切于點,求點的坐標．

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