【題目】閱讀:我們約定,在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過某點且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線,叫該點的“特征線”.例如,點M(1,3)的特征線有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.問題與探究:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC,點B在第一象限,A、C分別在x軸和y軸上,拋物線經(jīng)過B、C兩點,頂點D在正方形內(nèi)部.
(1)直接寫出點D(m,n)所有的特征線 ;
(2)若點D有一條特征線是y=x+1,求此拋物線的解析式;
(3)點P是AB邊上除點A外的任意一點,連接OP,將△OAP沿著OP折疊,點A落在點A′的位置,當(dāng)點A′在平行于y軸的D點的特征線上時,滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離,其頂點落在OP上?
【答案】(1)y=n,x=m,y=-x+m+n,y=x-m+n;(2);(3)或
【解析】
(1)根據(jù)特征線的定義以及性質(zhì)直接求出點D的特征線;
(2)由點D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點D的坐標(biāo),從而求出拋物線解析式;
(3)分平行于x軸和y軸兩種情況,由折疊的性質(zhì)計算即可.
(1)∵點D
∴D的特征線是
(2)∵點D有一條特征線是
∴
∴
∵拋物線的解析式為
∴
∵四邊形OABC是正方形,且D點為正方形的對稱軸,
∴
∴
∴
將代入中
解得
∴拋物線的解析式為
(3)①如圖,當(dāng)點在平行于y軸的D點的特征線時
根據(jù)題意可得
∴
∴
∴
∴
∴拋物線需要向下平移的距離
②如圖,當(dāng)點在平行于x軸的D點的特征線時,設(shè)
則
∴
設(shè)
在中,
解得
∴
∴直線OP解析式為
∴
∴拋物線需要向下平移的距離
即拋物線向下平移或距離,其頂點落在OP上.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上任意一點,以DE為邊作正方形DEFG,連接BF,點M是線段BF中點,射線EM與BC交于點H,連接CM.
(1)請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°,此時點F恰好落在線段CD上,如圖2,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由;
(3)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°,此時點E、G恰好分別落在線段AD、CD上,如圖3,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,點E、F在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,直線EF分別與x軸、y軸交于點A、B,且BE:BF=1:4,則△EOF的面積是( 。
A.2B.C.D..
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD與正方形CEFG,M是AF的中點,連接DM,EM.
(1)如圖1,點E在CD上,點G在BC的延長線上,請判斷DM,EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并直接寫出結(jié)論;
(2)如圖2,點E在DC的延長線上,點G在BC上,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請證明你的結(jié)論;
(3)將圖1中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn),使D,E,F(xiàn)三點在一條直線上,若AB=13,CE=5,請畫出圖形,并直接寫出MF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,E對角線AC上一點,連接DE.
(1)如圖1,若E為對角線AC中點,過點C、D分別作AC、DE的垂線相交于點F,連接AF,若AF=10,求正方形ABCD的面積;
(2)如圖2,把△ADE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDF,連接AF,取AF的中點為M,連接DM,求證:4DM2+AE2=2DF2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=25°,O為AB的中點. 將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)θ °至OP(0<θ<180),當(dāng)△BCP恰為軸對稱圖形時,θ的值為_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝店出售某品牌的棉衣,進(jìn)價為100元/件,當(dāng)售價為150元/件時,平均每天可賣30件;為了盡快減少庫存迎接“元旦”的到來,商店決定降價銷售,增加利潤,經(jīng)調(diào)查每件降價5元,則每天可多賣10件,現(xiàn)要想平均每天獲利2000元,且讓顧客得到實惠,那么每件棉衣應(yīng)降價多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相交于點D,E,F,且BF=BC.⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點G,交于點H,連接BD、FH.
(1)求證:△ABC≌△EBF;
(2)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.
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