【題目】(1)問題背景

如圖①,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,AB=AC,P為BmC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),求證: PA=PB+PC.

小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出發(fā)有三條線段AB,AP,AC,且AB=AC,這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是,小明同學(xué)有如下思考過程:

第一步:將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB(如圖①);

第二步:證明Q,B,P三點(diǎn)共線,進(jìn)而原題得證.

請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.

(2)類比遷移

如圖②,⊙O的半徑為3,點(diǎn)A,B在⊙O上,C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AB=AC,AB⊥AC,垂足為A,求OC的最小值.

(3)拓展延伸

如圖③,⊙O的半徑為3,點(diǎn)A,B在⊙O上,C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AB=AC,AB⊥AC,垂足為A,則OC的最小值為   

【答案】(1)證明見解析;(2)OC最小值是3﹣3;(3)

【解析】試題分析:(1)將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB(如圖①),只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問題;

(2)如圖②中,連接OA,將△OAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB,連接OB,OQ,在△BOQ中,利用三邊關(guān)系定理即可解決問題;

(3)如圖③構(gòu)造相似三角形即可解決問題.作AQ⊥OA,使得AQ=OA,連接OQ,BQ,OB.由△QAB∽OAC,推出BQ=OC,當(dāng)BQ最小時(shí),OC最;

試題解析:(1)將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB(如圖①);

∵BC是直徑,∴∠BAC=90°,

∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°,

由旋轉(zhuǎn)可得∠QBA=∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,

∵∠PCA+∠PBA=180°,∴∠QBA+∠PBA=180°,∴Q,B,P三點(diǎn)共線,

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°,∴QP2=AP2+AQ2=2AP2

∴QP=AP=QB+BP=PC+PB,∴AP=PC+PB.

(2)如圖②中,連接OA,將△OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB,連接OB,OQ,

∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,

由旋轉(zhuǎn)可得 QB=OC,AQ=OA,∠QAB=∠OAC,∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°,

∴在Rt△OAQ中,OQ=3,AO=3 ,∴在△OQB中,BQ≥OQ﹣OB=3﹣3 ,

即OC最小值是3﹣3;

(3)如圖③中,作AQ⊥OA,使得AQ=OA,連接OQ,BQ,OB.

∵∠QAO=∠BAC=90°,∠QAB=∠OAC,∵=,

∴△QAB∽OAC,∴BQ=OC,

當(dāng)BQ最小時(shí),OC最小,易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ﹣OB,∴OQ≥2,]

∴BQ的最小值為2,

∴OC的最小值為×2=,

故答案為

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