Question

2．如圖1，兩個(gè)全等的△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，其中點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，點(diǎn)F在BC上，將△DEF沿射線BC平移，設(shè)平移的距離為x，平移后的圖形與△ABC重合部分的面積為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4時(shí)，函數(shù)的解析式不同）
（1）填空：BC的長(zhǎng)為4；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)圖2觀察可知y=0時(shí)x=4，即D點(diǎn)從B運(yùn)動(dòng)到C平移的距離為4；
（2）當(dāng)△DEF在平移過(guò)程中，與△ABC的重合部分有三種情況，將三種圖形分別畫(huà)出，通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形，通過(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，將各邊用x表示出來(lái)，即可以列出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）由圖2得當(dāng)x=4時(shí)，y=0，說(shuō)明此時(shí)△DEF與△ABC無(wú)重合部分，
則點(diǎn)D從B到C運(yùn)動(dòng)的距離為4，即BC=4；
故答案為：4．
（2）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)（如圖1），BD=3，CD=1，

∵△ABC≌△DEF．
∴∠EDF=∠BAC．
∵∠ACD=∠BCA
∴△ADC∽△BAC．
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，即$\frac{AC}{4}=\frac{1}{AC}$．AC=2
∴n=2
當(dāng)0≤x≤2時(shí)（如圖2），

設(shè)ED、EF與AB分別相交于點(diǎn)M，G，作MN⊥BC，垂足為N．
則∠MNB=90°=∠EFD=∠C．
∵∠MDN=∠EDF．
∴△DMN∽△DEF．
∴$\frac{MN}{EF}=\frac{DN}{DF}$，即$\frac{MN}{4}=\frac{DN}{2}$．
∴MN=2DN．
設(shè)DN=n，則MN=2n．
同理△BMN∽△BAC．
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{BN}{BC}$．即$\frac{2n}{2}=\frac{BN}{4}$，
∴BN=4n，即x+n=4n．
∴n=$\frac{1}{3}$x．
∴S_△BDM=$\frac{1}{2}$•BD•MN=$\frac{1}{2}•x•\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$²
同理△BGF∽△BAC
∴$\frac{GF}{AC}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{GF}{2}=\frac{x+2}{4}$．
∴GF=$\frac{1}{2}（x+2）$，
∴y=S_△BGF-S_△BDM=$\frac{1}{2}（x+2）•\frac{1}{2}（x+2）-\frac{1}{3}x$²=-$\frac{1}{12}$x²+x+1．
當(dāng)2＜x≤3時(shí)（如圖3），

由①知，S_△BDM=$\frac{1}{3}$x²．
∴y=S_△ABC-S_△BDM=$\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{3}x$²=-$\frac{1}{3}$x²+4
當(dāng)3＜x≤4時(shí)（如圖4），

設(shè)DE與AB相交于點(diǎn)H．
同理△DHC∽△DEF．
∴$\frac{HC}{EF}=\frac{DC}{DF}$，即$\frac{HC}{4}=\frac{4-x}{2}$
∴HC=24-x．
∴y=$\frac{1}{2}•DC•HC=\frac{1}{2}（4-x）•2（4-x）$=x²-8x+16
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{12}x^2+x+1（0≤x≤2）}\\{-\frac{1}{3}x^2+4（2＜x≤3）}\\{x^2-8x+16（3＜x≤4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平移的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要找到△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與△ABC重疊面積的不同情況，通過(guò)輔助線構(gòu)造相似三角形，要注意分類討論畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖象．