Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=12，CD=4

2

，∠C=45°，P點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動，Q點(diǎn)同時以1cm/秒的速度在線段DA上由D向A勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜5）
（1）當(dāng)t為何值時，PC分梯形為兩部分中有平行四邊形？
（2）是否存在t，使得P，C，D，Q為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成菱形？如果存在，求出t值；如果不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時，PQ⊥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由題意可知QD=t，BP=2t，當(dāng)AQ=BP或QD=BC時PC可分梯形兩部分中有一個為平行四邊形，可得到關(guān)于t的方程，求解即可；
（2）由（1）可知當(dāng)QD=PC時，四邊形PCDQ為平行四邊形，只有當(dāng)QD=DC時該四邊形為菱形，此時可求得t的值，但此時不在范圍之內(nèi)，可得出結(jié)論；
（3）過D作DE⊥BC，次BC于點(diǎn)E，當(dāng)PQ⊥BC時，則有PE=QD，則可用t表示出CE，而在Rt△DCE中可求得CE，從而得到關(guān)于t的方程，求出t即可．

解答：解：（1）由題意可知QD=t，BP=2t，
當(dāng)四邊形ABPQ為平行四邊形時，則AQ=BP，
∵AD=5，∴AQ=AD-QD=5-t，
∴5-t=2t，解得t=

5

3

，
當(dāng)四邊形CDQP為平行四邊形時，則QD=PC，
∵BC=12，∴PC=BC-BP=12-2t，
∴t=12-2t，解得t=4，
綜上可知當(dāng)t=

5

3

秒或4秒時，PQ分梯形為兩部分中有平行四邊形；
（2）不存在，理由如下：
由（1）可知當(dāng)QD=PC時，四邊形CDQP為平行四邊形，
若四邊形CDQP為菱形，則有DQ=CD，
即t=4

2

＞5，而0＜t＜5，
所以不存在使得P，C，D，Q為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成菱形的t；
（3）當(dāng)PQ⊥BC時，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，如圖，

則四邊形PEDQ為矩形，∴QD=PE，
∴BE=BP+PE=BP+QD=2t+t，
∵CD=4

2

，∠C=45°，
∴CE=4，
∴BE=BC-CE=10-4=6，
∴2t+t=6，解得t=2，
即當(dāng)t=2秒時，PQ⊥BC．

點(diǎn)評：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用時間t表示出相應(yīng)線段的長度，把動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問題，即化“動”為“靜”，在第（2）問中，由菱形的性質(zhì)得到線段相等求得t的值，注意結(jié)合t的取值范圍來進(jìn)行判斷．