Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式和對(duì)稱(chēng)軸．
（2）在此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），故設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx-2，由點(diǎn)在拋物線(xiàn)的可列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出拋物線(xiàn)的解析式，將解析式進(jìn)行配方即可得出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）假設(shè)存在，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知PA=PB，而當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)PB+PC最短，故找出直線(xiàn)BC的解析式，令x=$\frac{3}{2}$，求出y值，即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線(xiàn)的圖象可知，△ABD是直角三角形邊AB為斜邊，由兩點(diǎn)間的距離公式表示出各邊的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理即可得出關(guān)于m的一元四次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵該拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴可設(shè)該拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx-2，
將A（-1，0），B（4，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b-2}\\{0=16a+4b-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴此拋物線(xiàn)的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
∵拋物線(xiàn)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{25}{8}$，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{3}{2}$．
（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，連接PB，如圖所示．

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：PA=PB，
△PAC的周長(zhǎng)C_△PAC=PA+PC+AC=PB+PC+AC，
∴當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PB+PC最�。ㄈ�角形中兩邊之和大于第三邊）．
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+c，
將點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，-2）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+c}\\{-2=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
即直線(xiàn)BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
令x=$\frac{3}{2}$，則有y=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$-2=-$\frac{5}{4}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
故在此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}{m}^{2}$-$\frac{3}{2}$m-2），
∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（4，0），
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知：AB=4-（-1）=5，AD=$\sqrt{（m+1）^{2}+（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2）^{2}}$，BD=$\sqrt{（m-4）^{2}+（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2）^{2}}$．
∵△ABD是直角三角形，且結(jié)合二次函數(shù)圖象可知AB只能為斜邊，
∴AD²+BD²=AB²，即$（m+1）^{2}+（m-4）^{2}+2（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2）^{2}$=25，
整理得：m（m+1）（m-3）（m-4）=0，
解得：m₁=0，m₂=-1（舍去），m₃=3，m₄=4（舍去），
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2）或（3，-2）．
故在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)D，使△ABD是直角三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2）或（3，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）由三角形中兩邊之和大于第三邊尋找點(diǎn)P的位置；（3）結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理列出方程．本題屬于中檔題，難度不大，（1）（2）較簡(jiǎn)單；（3）用到了分解因式解一元四次方程，稍顯繁瑣．