Question

E為正方形ABCD的邊上的中點，AB=1，MN⊥DE交AB于M，交DC的延長線于N，
求證：（1）EC²=DC•CN；（2）CN=；（3）NE=．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△DEN中，EC⊥DN，易證得△ECD∽△NCE，即可得到所求的比例關(guān)系式；
（2）已知了正方形的邊長，即可得到CD、CE的長，套用（1）的結(jié)論即可得CN的值；
（3）在Rt△NCE中，利用勾股定理即可求得NE的長．
解答：證明：（1）∵NM⊥EC，即∠DEN=90°，
∴∠DEC=∠N=90°-∠CEN，
又∵∠DCE=∠ECN，
∴△ECD∽△NCE，
∴，即CE²=DC•CN．

（2）由題意知：AB=CD=1，CE=BE=，
由（1）的結(jié)論知：CN=CE²÷DC=．

（3）在Rt△CEN中，EN===．
點評：此題主要考查的是正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，難度不大．