Question

25、如圖1，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)（不與A、C重合），PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）求證：BP=DP；
（2）如圖2，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；
（3）試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連接，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可證△ABP≌△ADP，即BP=DP；
（2）當(dāng)四邊形PECF的點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)，DP＞DC＞BP，此時(shí)BP=DP不成立；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證△BEC≌△DFC，即BE=DF．

解答：解：（1）解法一：在△ABP與△ADP中，
∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP=DP．（2分）
解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP．（2分）

（2）不是總成立．（3分）
當(dāng)四邊形PECF的點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)，DP＞DC＞BP，此時(shí)BP=DP不成立，（5分）
說明：未用舉反例的方法說理的不得分．

（3）連接BE、DF，則BE與DF始終相等，（6分）
在圖1中，由正方形ABCD可證：
AC平分∠BCD，
∵PE⊥BC，PF⊥BD，
∴PE=PF，∠BCD=90°，
∴四邊形PECF為正方形．（7分）
∴CE=CF，
∵∠DCF=∠BCE，
BC=CD，
∴△BEC≌△DFC，
∴BE=DF．（8分）

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定，以及正方形的性質(zhì)．