Question

（2013•四會(huì)市二模）如圖1，已知O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF=2OA，OE=2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖2）．連結(jié)AE′、BF′．
（1）探究AE′與BF′的數(shù)量關(guān)系，
并給予證明；
（2）當(dāng)α=30°，AB=2時(shí)，求：
①∠AE′O的度數(shù)；
②BF′的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）首先證明△AOE′≌△BOF′，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得；
（2）①延長(zhǎng)OA到M，使AM=OA，則OM=OE′．易證△OME′是等邊三角形，據(jù)此即可證明∠E′AO=90°，則∠AE′O的度數(shù)即可求得；
②在直角△AOB中，利用三角函數(shù)即可求得OB的長(zhǎng)，然后在直角△OBF′中利用三角函數(shù)求得BF′的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，
又∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，則OE′=OF′，
在△AOE′和△BOF′中，

OE1=OF1 ∠AOE1=∠BOF1 OA=OB

，
∴△AOE′≌△BOF′
∴AE′=BF′；
（2）①延長(zhǎng)OA到M，使AM=OA，則OM=OE′．
∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，
∴∠AOE′=90°-30°=60°，
∴△OME′是等邊三角形，
又∵AM=OA，
∴AE′⊥OM，
則∠E′AO=90°，
∴∠AOE′=90°-α=60°，
∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°-∠AOE′=30°；
②∵∠AOE′=90°-α=60°，∠E′OF′=90°，
∴∠AOF′=30°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BOF′=60°，
又∵等腰直角△AOB中，OB=

2

2

AB=

2

，
∴BF′=

3

OB=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵．