Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，其頂點為D，且直線DC的解析式為y=x+3．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標(biāo)；
（3）若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大值．

Answer 1

分析：（1）拋物線與直線CD的函數(shù)圖象交于y軸上的點C，那么這兩個函數(shù)的解析式中的常數(shù)項相同，即c=3，因此只需求出b的值即可；首先用b表示出拋物線的頂點坐標(biāo)，而這個頂點恰好在直線CD上，因此代入直線CD的解析式中即可得到待定系數(shù)b的值，由此得解．
（2）△ABC的外心到三角形三個頂點的距離都相同，即為△ABC的外接圓半徑；因此先設(shè)出該外心的坐標(biāo)，然后表示出三個半徑長，令它們相等即可，可據(jù)此思路解題．
（3）四邊形ACPB中，△ABC的面積是個定值，因此△CPB的面積最大時，四邊形的面積最大；可以過點P作y軸的平行線，交直線BC于點E，首先要求出線段PE的長度表達(dá)式，以PE為底、OB為高，即可得到△CPB的面積表達(dá)式，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB面積的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)：y=-x²+bx+c的圖象與直線DC：y=x+3交于點C，
∴c=3，C（0，3）；
二次函數(shù) y=-x²+bx+3中，頂點D （

b

2

，

b2+12

4

），代入直線DC y=x+3中，得：

b

2

+3=

b2+12

4

，
解得 b₁=0（舍）、b₂=2；
故二次函數(shù)的解析式：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）的拋物線解析式知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）；
設(shè)△ABC的外心M（x，y），則：
AM²=（x+1）²+y²、BM²=（x-3）²+y²、CM²=x²+（y-3）²；
由于AM=BM=CM，所以有：

(x+1)2+y2=(x-3)2+y2 (x+1)2+y2=x2+(y-3)2

，
解得

x=1 y=1

此時 AM=BM=CM=

5

；
綜上，△ABC的外接圓半徑為

5

，外心的坐標(biāo)（1，1）．

（3）如右圖，過點P作PE∥y軸，交直線BC于點E；
由B（3，0）、C（0，3）知，直線BC：y=-x+3；
設(shè)點P（x，-x²+2x+3），則E（x，-x+3），
PE=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x；
則S_{四邊形ACPB}=S_△ACB+S_△CPB
=

1

2

AB•OC+

1

2

PE•OB
=

1

2

×4×3+

1

2

×（-x²+3x）×3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

；
綜上，四邊形ACPB的最大面積最大值為

75

8

．

點評：此題主要考查的是：函數(shù)解析式的確定、三角形的外接圓以及圖形面積的求法等知識；（3）題的解法較多，還可以過點P作x軸的垂線，將四邊形的面積分割成兩個小直角三角形以及一個直角梯形三部分，解此類題目要注意結(jié)合圖形，找出相關(guān)圖形間的面積和差關(guān)系，根據(jù)已知條件選擇簡便的解題方法．