Question

點(diǎn)E為正方形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，連接DE，BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，DE⊥EG交BC于G，下列結(jié)論：
①△BEC≌△DEC；②∠BED=120°時(shí)，EF平分∠AED；③EG=ED；④BG=AE；⑤當(dāng)點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，DF=2AF．
其中正確的有：    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，然后利用“邊角邊”證明△BEC和△DEC全等，判斷①正確；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEC，當(dāng)∠BED=120°時(shí)，則∠DEC=60°，∠DEF=180°-120°=60°，再求出∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，從而得到∠DEF=∠AEF，根據(jù)角平分線的定義可得EF平分∠AED，判斷②正確；過(guò)E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，四邊形EMCP、四邊形AQEN都為正方形，根據(jù)同角的余角相等可得∠DEP=∠GEM，然后利用“角邊角”證明△DEP和△GEM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EG=ED，判斷③正確；由①可得ED=EB，則EB=EG，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BM=GM，則BM=AN，然后根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線的關(guān)系求出BG=AE，判斷④正確；設(shè)正方形AQEN的邊長(zhǎng)為x，表示出AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)△ABF和△NEF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列比例式求出AF，再求出DF，從而判斷⑤正確．
解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中DCE，
∵，
∴△BEC≌△DEC（SAS），故①正確；

∴∠BEC=∠DEC，
當(dāng)∠BED=120°時(shí)，∠DEC=×120°=60°，
∠DEF=180°-∠BED=180°-120°=60°，
所以，∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，
所以，∠AEF=∠DEF，
即EF平分∠AED，故②正確； 

如圖，過(guò)E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，
則四邊形EMCP、四邊形AQEN都為正方形，
∵EG⊥DE，
∴∠DEP+∠PCG=90°，
又∵∠GEN+∠PCG=90°，
∴∠DEP=∠GEM，
在△DEP和△GEM中，
∵，
∴△DEP≌△GEM（ASA），
∴EG=ED，故③正確；

∵△BEC≌△DEC，
∴ED=EB，
∴EB=EG，
∵EM⊥BG，
∴BG=2BM，
∵BM=AN，
又∵AN=AE，
∴BG=2×AE=AE，故④正確；

當(dāng)點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)正方形AQEN的邊長(zhǎng)為x，
則BG=2BM=2x，BC=2BG=4x，
∴AB=BC=4x，
由MN∥AB得，△ABF∽△NEF，
∴=，
即=，
解得AF=x，
所以，DF=4x-x=x，
∴DF=2AF，故⑤正確，
綜上所述，正確的有①②③④⑤．
故答案為：①②③④⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．