Question

【題目】如圖，把一張長方形紙片 ABCD 折疊起來，使其對角頂點 A，C 重合，若其長 BC 為 9，寬 AB 為 3．

⑴求證：△AEF 是等腰三角形；

⑵EF= ．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）

【解析】

(1) 由折疊可知，∠EFC=∠AFE,根據(jù)AD∥BC，得到∠AEF=∠EFC，可得∠AEF=∠AFE，即可得出結(jié)論；

（2）過點F作FH⊥AD,設(shè)BF=x，則AF=CF=9x，求出x的值，再根據(jù)勾股定理即可得出EF==.

（1）證明：∵四邊形ABCD是長方形，

∴AD∥BC，

∴∠AEF=∠EFC．

由折疊可知，∠EFC=∠AFE，

∴∠AEF=∠AFE．

∴AE=AF．

∴△AEF是等腰三角形．

（2）解：如圖，過點F作FH⊥AD,

設(shè)BF=x，
則AF=CF=9x，
在Rt△ABF中，由BF2+AB2=AF2可得x2+32=(9x)2，
解得：x=4，

∴AF=FC=9-4=5，
∴AE=AF=5,

∵四邊形ABFH是矩形，

∴AH=BF=4,AB=HF=3

∴HE=AE-AH=1，
∴EF===.