Question

【題目】如圖，拋物線過、兩點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，并求的面積；

（3）點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)面積為6時(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2），3；（3）；（4），，，.

【解析】

（1）把、代入，得到關(guān)于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值，即可得到拋物線的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可得BC的值以及BC邊上的高，進(jìn)而求出的面積；

（3）設(shè)，作于點(diǎn)，由，可列出關(guān)于m的方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）根據(jù)以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，分五類情況討論，即可求解.

（1）∵拋物線過、兩點(diǎn)，

∴ ，解得：

∴拋物線的解析式是：.

（2）∵拋物線的解析式是：，

∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，

∵點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1,3），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(3，3)，

∴BC=3-1=2，BC∥x軸，

∴中，BC上的高為3，

∴的面積=2×3÷2=3；

（3）∵點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，如圖1，

∴設(shè)，作于點(diǎn)，

則，，，

∵，

∴，

即，

∴（舍去），，

∴.

（4）以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分五類情況討論：

①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

∵∠CBM=∠MHN=90°，

∴∠BCM+∠BMC=90°，

∵∠HMN+∠BMC=90°，

∴∠BCM=∠HMN，

∴CBMMHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，

∴N（2，0）；

②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖3，

作輔助線，構(gòu)造如圖所示的兩直角三角形：RtNEM和RtMDC，同①的證法，

可得：RtNEMRtMDC，

∴EM=CD=5，

∵OH=1，

∴ON=NH-OH=5-1=4，

∴N（-4，0）；

③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，

作輔助線，構(gòu)造如圖所示的兩直角三角形：RtNEM和Rt CDN，同理可得：

RtNEM Rt CDN，

∴ME=NH=DN=3，

∴ON=3-1=2，

∴N（-2，0）；

④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，如圖5，CN=MN，∠MNC=90°，

作輔助線，構(gòu)造如圖所示的兩直角三角形：RtNEM和Rt CDN，同理可得：

RtNEMRtCDN，

∴ME=DN=NH=3，

∴ON=1+3=4，

∴N（4，0）；

⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為：，，，.

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5