Question

【題目】已知在同一平面直角坐標(biāo)系中有函數(shù)y1＝ax2﹣2ax+b，y2＝﹣ax+b，其中ab≠0．

（1）求證：函數(shù)y2的圖象經(jīng)過函數(shù)y1的圖象的頂點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)y2的圖象與x軸的交點(diǎn)為M，若點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M'在函數(shù)y1圖象上，求a，b滿足的關(guān)系式；

（3）當(dāng)﹣1＜x＜1時，比較y1與y2的大�。�

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）b＝﹣a；（3）當(dāng)a＞0且﹣1＜x＜0時，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2；當(dāng)a＞0且0＜x＜1時，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；當(dāng)a＜0且﹣1＜x＜0時，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；當(dāng)a＜0且0＜x＜1時，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2．

【解析】

（1）將函數(shù)y1的解析式配方，即可找出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y2的解析式中，即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)函數(shù)y2的圖象與x軸的交點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M'（-m，0），根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出，解得b=-a；
（3）兩函數(shù)解析式做差，即可得出y1-y2=ax（x-1），根據(jù)x的取值范圍可得出x（x-1）的符號，分a＞0或a＜0兩種情況考慮，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵y1＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2﹣a+b，

∴函數(shù)y1的頂點(diǎn)為（1，﹣a+b），

把x＝1代入y2＝﹣ax+b得，y＝﹣a+b，

∴函數(shù)y2的圖象經(jīng)過函數(shù)y1的圖象的頂點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)y2的圖象與x軸的交點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M'（﹣m，0），

由題意可知，

由①得，

代入②得，且ab≠0，

解得b＝﹣a；

（3）∵y1＝ax2﹣2ax+b，y2＝﹣ax+b，

∴y1﹣y2＝ax（x﹣1）．

∵﹣1＜x＜1，

∴當(dāng)﹣1＜x＜0，x（x﹣1）＞0．當(dāng)0＜x＜1，x（x﹣1）＜0，當(dāng)x＝0，x（x﹣1）＝0，

∴y1＝y2；

當(dāng)a＞0且﹣1＜x＜0時，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2；

當(dāng)a＞0且0＜x＜1時，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；

當(dāng)a＜0且﹣1＜x＜0時，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；

當(dāng)a＜0且0＜x＜1時，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2．