【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC時(shí)
(1)若CE⊥BD于E,①∠ECD=___________0;②求證:BD=2EC;
(2)如圖,點(diǎn)P是射線BA上A點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn),以CP為斜邊作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,點(diǎn)Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q是否一定在射線BD上?若在,請(qǐng)證明,若不在;請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】22.5.
【解析】(1)①先運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理,得出∠ABD=∠ECD,再根據(jù)∠ABD=22.5°,得到∠ECD=22.5°;②延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,通過(guò)判定△ABD≌△ACG,得出BD=CG=2CE即可;
(2)連接CQ,過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BP于M,作QN⊥BC于N,在等腰直角△CPF中,求得∠QCP=∠QPC=22.5°,進(jìn)而得出△PQC中,∠PQC=135°;在四邊形QNBM中,根據(jù)QM⊥BP,QN⊥BC,∠ABC=45°,得到∠MQN=135°,進(jìn)而得到∠NQC=∠MQP,根據(jù)AAS判定△QPM≌△QCN,得出QM=QN,最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理,得出點(diǎn)Q一定在射線BD上.
解:(1)①∵∠BAC=90°,CE⊥BD,∠ADB=∠CDE,
∴∠ABD=∠ECD,
又∵∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=22.5°,
∴∠ECD=22.5°;
故答案為:22.5.
②如圖,延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
∵BD平分∠ABC,CE⊥BD,
∴CE=GE,
在△ABD與△ACG中,
∠DBA=∠ACG,∠BAC=∠CAG,AB=AC,
∴△ABD≌△ACG(AAS),
∴BD=CG=2CE;
(2)點(diǎn)Q一定在射線BD上,
理由:如圖,連接CQ,過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BP于M,作QN⊥BC于N,
∵QF為∠PFC的角平分線,△CPF為等腰直角三角形,
∴QF為PC的垂直平分線,
∴PQ=QC,
∵Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn),
∴CQ平分∠FCP,
∵△CPF為等腰直角三角形,
∴∠FCP=∠FPC=45°,
∴∠QCP=∠QPC=22.5°,
∴△PQC中,∠PQC=135°,
∵在四邊形QNBM中,QM⊥BP,QN⊥BC,∠ABC=45°,
∴∠MQN=135°,
∴∠MQN=∠PQC,
∴∠NQC=∠MQP,
又∵QC=QP,QM⊥BP,QN⊥BC,
∴△QPM≌△QCN(AAS),
∴QM=QN,
又∵QM⊥BP,QN⊥BC,
∴點(diǎn)Q一定在射線BD上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】((2016四川省攀枝花市)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1)
(1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1;
(2)分別連結(jié)AB1、BA1后,求四邊形AB1A1B的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)射手連續(xù)射靶22次,其中3次射中10環(huán),7次射中9環(huán),9次射中8環(huán),3次射中7環(huán).則射中環(huán)數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為( )
A.8.5,9B.8.5,8C.8,8D.8,9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,連接AC交DE于點(diǎn)F,點(diǎn)G為AF的中點(diǎn),∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,則DE的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知線段AB=5,C是直線AB上一點(diǎn),BC=2,則線段AC長(zhǎng)為
A. 3 B. 7 C. 3或7 D. 以上都不對(duì)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若+800元表示盈利800元,那么﹣300元表示( )
A. 收入300元 B. 盈利300元 C. 虧損300元 D. 支出300元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列事件中,是確定事件的是( 。
A.三角形任意兩邊之和小于第三邊
B.365人中一定至少有兩人的生日相同
C.龍口市下周一定會(huì)下雨
D.打開(kāi)電視機(jī),正在播放廣告
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng),當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動(dòng),直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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