Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC時(shí)

（1）若CE⊥BD于E，①∠ECD=___________0；②求證：BD=2EC；

（2）如圖，點(diǎn)P是射線BA上A點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn)，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F＝90°，點(diǎn)Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q是否一定在射線BD上？若在，請(qǐng)證明，若不在；請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】22.5．

【解析】（1）①先運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，得出∠ABD=∠ECD，再根據(jù)∠ABD=22.5°，得到∠ECD=22.5°；②延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，通過(guò)判定△ABD≌△ACG，得出BD=CG=2CE即可；

（2）連接CQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP=∠QPC=22.5°，進(jìn)而得出△PQC中，∠PQC=135°；在四邊形QNBM中，根據(jù)QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，得到∠MQN=135°，進(jìn)而得到∠NQC=∠MQP，根據(jù)AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM=QN，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，得出點(diǎn)Q一定在射線BD上．

解：（1）①∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∠ADB=∠CDE，

∴∠ABD=∠ECD，

又∵∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=22.5°，

∴∠ECD=22.5°；

故答案為：22.5．

②如圖，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=GE，

在△ABD與△ACG中，

∠DBA=∠ACG，∠BAC=∠CAG，AB=AC，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD=CG=2CE；

（2）點(diǎn)Q一定在射線BD上，

理由：如圖，連接CQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF為∠PFC的角平分線，△CPF為等腰直角三角形，

∴QF為PC的垂直平分線，

∴PQ=QC，

∵Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn)，

∴CQ平分∠FCP，

∵△CPF為等腰直角三角形，

∴∠FCP=∠FPC=45°，

∴∠QCP=∠QPC=22.5°，

∴△PQC中，∠PQC=135°，

∵在四邊形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，

∴∠MQN=135°，

∴∠MQN=∠PQC，

∴∠NQC=∠MQP，

又∵QC=QP，QM⊥BP，QN⊥BC，

∴△QPM≌△QCN（AAS），

∴QM=QN，

又∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴點(diǎn)Q一定在射線BD上．