Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線MN過B點，D、C是⊙O上的兩點，連接AD、BD、CD和BC，過點C作CE⊥AD于E，若∠ECD=∠CBN，求證：MN是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：連結AC，如圖，利用垂直的定義可得∠ECD+∠EDC=90°，再根據(jù)圓周角定理得∠ADC=∠ABC，則∠ECD+∠ABC=90°，由于∠ECD=∠CBN，所以∠CBN+∠ABC=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到MN是⊙O的切線．

解答：證明：連結AC，如圖，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠ECD+∠EDC=90°，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ECD+∠ABC=90°，
∵∠ECD=∠CBN，
∴∠CBN+∠ABC=90°，
即∠ABN=90°，
∴直徑AB⊥MN，
∴MN是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．注意把證明切線的問題轉化為證明垂直的問題．