Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1，P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，N是線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若∠MNC=90°，直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（，）；（3）

【解析】

（1）由y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令-x2+2x+3=0，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，再設(shè)P（a，3-a），即可得D（a，-a2+2a+3），即可求得PD的長，由S△BDC=S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC=，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）首先過C作CH⊥EF于H點(diǎn)，則CH=EH=1，然后分別從點(diǎn)M在EF左側(cè)與M在EF右側(cè)時(shí)去分析求解即可求得答案．

解：（1）由題，解得：，

所以拋物線表達(dá)式為

（2）令，

∴.即

設(shè)直線的表達(dá)式為，

∴

∴

故直線的表達(dá)式為，

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)

（3）的取值范圍是：