Question

12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)M：$y=-\frac{1}{2}{x^2}+5$經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，3），直線(xiàn)y=kx+b與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，∠ACB=90°

（1）探究與猜想
①探究：
取點(diǎn)B（6，-13）時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$-\frac{5}{2}$，$\frac{15}{8}$），直接寫(xiě)出直線(xiàn)AB的解析式y(tǒng)=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$；取點(diǎn)B（4，-3），直接寫(xiě)出AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$
②猜想：
我們猜想直線(xiàn)AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（-2，1）．請(qǐng)取點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為n，驗(yàn)證你的猜想；
友情提醒：此問(wèn)如果沒(méi)有解出，不影響第（2）問(wèn)的解答
（2）如圖2，點(diǎn)D在拋物線(xiàn)M上，若AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，△ABD的面積等于△ABC的面積，試求出一個(gè)符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出其余的符合條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
②猜想直線(xiàn)AB必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（-2，1），設(shè)A（m，-$\frac{1}{2}$m²+5），B（n，-$\frac{1}{2}$n²+5），過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)PN∥x軸，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作PN的垂線(xiàn)，垂足分別為N、P，
由∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，得$\frac{AN}{CN}$=$\frac{CP}{BP}$，得出m、n的關(guān)系，再聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}$x²+kx+b-5=0，利用根與系數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題．
（2）①當(dāng)CD∥AB時(shí)，△ABD的面積等于△ABC的面積，點(diǎn)D符合條件．
②求出直線(xiàn)CD與y軸的交點(diǎn)E，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F（0，-4），過(guò)點(diǎn)F平行AB的直線(xiàn)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-4，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)滿(mǎn)足條件，利用方程組即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）①設(shè)直線(xiàn)AB為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=-13}\\{-\frac{5}{2}k+b=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{7}{4}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AB解析式為y=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$，
∵B（4，-3），C（2，3），
∴直線(xiàn)邊長(zhǎng)為y=-3x+9，
∵AC⊥BC，
∴直線(xiàn)AC為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{3}}\\{y=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（-$\frac{8}{3}$，$\frac{13}{9}$），
∴直線(xiàn)AB解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
故答案分別為y=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$，y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
②猜想直線(xiàn)AB必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（-2，1），
驗(yàn)證如下：
設(shè)A（m，-$\frac{1}{2}$m²+5），B（n，-$\frac{1}{2}$n²+5），
過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)PN∥x軸，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作PN的垂線(xiàn)，垂足分別為N、P，
∵∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，
∴$\frac{AN}{CN}$=$\frac{CP}{BP}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}{n}^{2}-2}{n-2}$=$\frac{2-m}{\frac{1}{2}{m}^{2}-2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（n+2）（n-2）}{n-2}$=$\frac{2-m}{\frac{1}{2}（m+2）（m-2）}$，
∴（m+2）（n+2）=-4，
∴mn+2（m+n）+8=0，①
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$x²+kx+b-5=0，
∴m+n=-2k，mn=2b-10，②
將②代入①，得化簡(jiǎn)，得
b=2k+1，
∵直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+2k+1，即y=k（x+2）+1，
直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，1）
（3）當(dāng)直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，其解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，
當(dāng)CD∥AB時(shí)，△ABD的面積等于△ABC的面積，點(diǎn)D符合條件．
此時(shí)，直線(xiàn)CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是-$\frac{1}{2}$x²+5=-$\frac{1}{2}$x+4的根．
解得x₁=2，x₂=-1，其中x₁=2是點(diǎn)C的橫坐標(biāo)．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=$\frac{9}{2}$，
∴D（-1，$\frac{9}{2}$），
∵直線(xiàn)CD交y軸于E（0，4），點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F（0，-4），
過(guò)點(diǎn)F平行AB的直線(xiàn)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-4，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)滿(mǎn)足條件，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=-\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{73}}{2}}\\{y=-\frac{17+\sqrt{73}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{73}}{2}}\\{y=-\frac{17-\sqrt{73}}{4}}\end{array}\right.$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)分別為（$\frac{1+\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17+\sqrt{73}}{4}$）和（$\frac{1-\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17-\sqrt{73}}{4}$）．
∴其余符合條件的D點(diǎn)坐標(biāo)分別為（$\frac{1+\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17+\sqrt{73}}{4}$）和（$\frac{1-\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17-\sqrt{73}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)，平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，尋找面積相等的三角形，屬于中考?jí)狠S題．