Question

12．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線M：$y=-\frac{1}{2}{x^2}+5$經過點C（2，3），直線y=kx+b與拋物線相交于A、B兩點，∠ACB=90°

（1）探究與猜想
①探究：
取點B（6，-13）時，點A的坐標為（$-\frac{5}{2}$，$\frac{15}{8}$），直接寫出直線AB的解析式y(tǒng)=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$；取點B（4，-3），直接寫出AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$
②猜想：
我們猜想直線AB必經過一個定點Q，其坐標為（-2，1）．請取點B的橫坐標為n，驗證你的猜想；
友情提醒：此問如果沒有解出，不影響第（2）問的解答
（2）如圖2，點D在拋物線M上，若AB經過原點O，△ABD的面積等于△ABC的面積，試求出一個符合條件的點D的坐標，并直接寫出其余的符合條件的D點的坐標．

Answer 1

分析 （1）①先求出點A坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題．
②猜想直線AB必經過定點Q（-2，1），設A（m，-$\frac{1}{2}$m²+5），B（n，-$\frac{1}{2}$n²+5），過點C作直線PN∥x軸，分別過A、B兩點作PN的垂線，垂足分別為N、P，
由∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，得$\frac{AN}{CN}$=$\frac{CP}{BP}$，得出m、n的關系，再聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}$x²+kx+b-5=0，利用根與系數(shù)關系解決問題．
（2）①當CD∥AB時，△ABD的面積等于△ABC的面積，點D符合條件．
②求出直線CD與y軸的交點E，點E關于x軸的對稱點F（0，-4），過點F平行AB的直線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-4，此時直線與拋物線的交點滿足條件，利用方程組即可解決問題．

解答 解：（1）①設直線AB為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=-13}\\{-\frac{5}{2}k+b=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{7}{4}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$，
∵B（4，-3），C（2，3），
∴直線邊長為y=-3x+9，
∵AC⊥BC，
∴直線AC為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{3}}\\{y=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴點A坐標（-$\frac{8}{3}$，$\frac{13}{9}$），
∴直線AB解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
故答案分別為y=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$，y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
②猜想直線AB必經過定點Q（-2，1），
驗證如下：
設A（m，-$\frac{1}{2}$m²+5），B（n，-$\frac{1}{2}$n²+5），
過點C作直線PN∥x軸，分別過A、B兩點作PN的垂線，垂足分別為N、P，
∵∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，
∴$\frac{AN}{CN}$=$\frac{CP}{BP}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}{n}^{2}-2}{n-2}$=$\frac{2-m}{\frac{1}{2}{m}^{2}-2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（n+2）（n-2）}{n-2}$=$\frac{2-m}{\frac{1}{2}（m+2）（m-2）}$，
∴（m+2）（n+2）=-4，
∴mn+2（m+n）+8=0，①
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$x²+kx+b-5=0，
∴m+n=-2k，mn=2b-10，②
將②代入①，得化簡，得
b=2k+1，
∵直線AB的解析式為y=kx+2k+1，即y=k（x+2）+1，
直線AB經過定點（-2，1）
（3）當直線AB經過原點，其解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，
當CD∥AB時，△ABD的面積等于△ABC的面積，點D符合條件．
此時，直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
則點D的橫坐標是-$\frac{1}{2}$x²+5=-$\frac{1}{2}$x+4的根．
解得x₁=2，x₂=-1，其中x₁=2是點C的橫坐標．
當x=-1時，y=$\frac{9}{2}$，
∴D（-1，$\frac{9}{2}$），
∵直線CD交y軸于E（0，4），點E關于x軸的對稱點F（0，-4），
過點F平行AB的直線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-4，此時直線與拋物線的交點滿足條件，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=-\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{73}}{2}}\\{y=-\frac{17+\sqrt{73}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{73}}{2}}\\{y=-\frac{17-\sqrt{73}}{4}}\end{array}\right.$，
∴D點坐標分別為（$\frac{1+\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17+\sqrt{73}}{4}$）和（$\frac{1-\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17-\sqrt{73}}{4}$）．
∴其余符合條件的D點坐標分別為（$\frac{1+\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17+\sqrt{73}}{4}$）和（$\frac{1-\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17-\sqrt{73}}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)，平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活掌握待定系數(shù)法，學會利用方程組求兩個函數(shù)的交點坐標，學會利用平行線的性質，尋找面積相等的三角形，屬于中考壓軸題．