【題目】△ABC內(nèi)接于⊙O,AC為⊙O的直徑,∠A=60°,點(diǎn)D在AC上,連接BD作等邊三角形BDE,連接OE.
(1)如圖1,求證:OE=AD;
(2)如圖2,連接CE,求證:∠OCE=∠ABD;
(3)如圖3,在(2)的條件下,延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)G,在OG上取點(diǎn)F,使OF=2OE,延長(zhǎng)BD到點(diǎn)M使BD=DM,連接MF,若tan∠BMF=,OD=3,求線段CE的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)CE=.
【解析】
(1)連接OB,證明△ABD≌△OBE,即可證出OE=AD.
(2)連接OB,證明△OCE≌△OBE,則∠OCE=∠OBE,由(1)的全等可知∠ABD=∠OBE,則∠OCE=∠ABD.
(3)過點(diǎn)M作AB的平行線交AC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)D作DN垂直EG于點(diǎn)N,則△ADB≌△MQD,四邊形MQOG為平行四邊形,∠DMF=∠EDN,再結(jié)合特殊角度和已知的線段長(zhǎng)度求出CE的長(zhǎng)度即可.
解:(1)如圖1所示,連接OB,
∵∠A=60°,OA=OB,
∴△AOB為等邊三角形,
∴OA=OB=AB,∠A=∠ABO=∠AOB=60°,
∵△DBE為等邊三角形,
∴DB=DE=BE,∠DBE=∠BDE=∠DEB=60°,
∴∠ABD=∠OBE,
∴△ADB≌△OBE(SAS),
∴OE=AD;
(2)如圖2所示,
由(1)可知△ADB≌△OBE,
∴∠BOE=∠A=60°,∠ABD=∠OBE,
∵∠BOA=60°,
∴∠EOC=∠BOE =60°,
又∵OB=OC,OE=OE,
∴△BOE≌△COE(SAS),
∴∠OCE=∠OBE,
∴∠OCE=∠ABD;
(3)如圖3所示,過點(diǎn)M作AB的平行線交AC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)D作DN垂直EG于點(diǎn)N,
∵BD=DM,∠ADB=∠QDM,∠QMD=∠ABD,
∴△ADB≌△MQD(ASA),
∴AB=MQ,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,
∴∠ACB=30°,
∴AB==AO=CO=OG,
∴MQ=OG,
∵AB∥GO,
∴MQ∥GO,
∴四邊形MQOG為平行四邊形,
設(shè)AD為x,則OE=x,OF=2x,
∵OD=3,
∴OA=OG=3+x,GF=3﹣x,
∵DQ=AD=x,
∴OQ=MG=3﹣x,
∴MG=GF,
∵∠DOG=60°,
∴∠MGF=120°,
∴∠GMF=∠GFM=30°,
∵∠QMD=∠ABD=∠ODE,∠ODN=30°,
∴∠DMF=∠EDN,
∵OD=3,
∴ON=,DN=,
∵tan∠BMF=,
∴tan∠NDE=,
∴ ,
解得x=1,
∴NE=,
∴DE=,
∴CE=.
故答案為(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)CE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在半圓中,直徑的長(zhǎng)為6,點(diǎn)是半圓上一點(diǎn),過圓心作的垂線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn),交弦于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)記,,求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;
(3)若,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列圖形:
(1)可知tanα=,tanβ=,用“畫圖法”求tan(α+β)的值,具體解法如下:
第一步:如圖1所示,構(gòu)造符合題意兩個(gè)“背靠背”的直角三角形;
第二步:如圖2所示,將圖1中所有數(shù)據(jù)同比例擴(kuò)大3倍;
第三步:如圖3所示,依托中間的Rt△ABD的各頂點(diǎn)構(gòu)造“水平﹣﹣豎直輔助線”,構(gòu)造出“一線三直角”基本相似型,并補(bǔ)成矩形ACEF;由圖可知tan(α+β)= .
(2)依據(jù)(1)的方法,已知tanα=,tanβ=,用“畫圖法”求tan(α+β)的值.
(3)擴(kuò)展延伸,已知tanα=,tanβ=,直接寫出tan(α﹣β)= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,將矩形ABCD折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,折痕為EF.
(1)如圖1,求證:BE=GF;
(2)如圖2,連接CF、DG,若CE=2BE,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形,使寫出的每個(gè)三角形都為等腰三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為4正方形ABCD中,E為邊AD的中點(diǎn),連接線段EC交BD于點(diǎn)F,點(diǎn)M是線段CE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且∠MAF為直角,則DM的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校準(zhǔn)備從文教商店購(gòu)買A、B兩種不同型號(hào)的筆記本獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生,已知購(gòu)買2本A型和3本B型筆記本共需23元,購(gòu)買3本A型和4本B型筆記本共需32元
(1)分別求出A、B型筆記本的單價(jià)?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種筆記本共100本,經(jīng)過協(xié)商文教店老板給一定的優(yōu)惠,A型筆記本打九折,B型筆記本打八折,已知A型筆記本進(jìn)價(jià)2.6元,B型筆記本進(jìn)價(jià)2.8元,若文教店老板想這次交易中賺到不少于110元錢,則賣出A型筆記本不超過多少本?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為滿足市場(chǎng)需求,某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕,購(gòu)進(jìn)一種品牌粽子,每盒進(jìn)價(jià)是40元.超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn);當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí),每天可以賣出700盒,每盒售價(jià)每提高1元,每天要少賣出20盒.
(1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí),每天銷售的利潤(rùn)P(元)最大?最大利潤(rùn)是多少?
(3)為穩(wěn)定物價(jià),有關(guān)管理部門限定:這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤(rùn),那么超市每天至少銷售粽子多少盒?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某初中學(xué)校舉行校園歌唱大賽,對(duì)各年級(jí)同學(xué)的獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)解答下列題:
(1)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全;
(2)獲得一等獎(jiǎng)的同學(xué)中有來自七年級(jí),有來自八年級(jí),其他同學(xué)均來自九年級(jí),現(xiàn)準(zhǔn)備從獲得一等獎(jiǎng)的同學(xué)中任選兩人參加全市校園歌唱大賽,請(qǐng)通過列表或畫樹狀圖求所選出的兩人中有七年級(jí)或八年級(jí)同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形內(nèi)接于,是的直徑,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),.
(1)求證:是的切線;
(2)求證:是等腰三角形;
(3)若,,求的值及的長(zhǎng).
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