Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE、OF分別交AB于點E、F，OF的延長線交⊙O于點D，且AE=BF，∠EOF=60°．

（1）求證：△OEF是等邊三角形；

（2）當AE=OE時，求陰影部分的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）作OC⊥AB于點C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根據AE=BF可知EC=FC，因為OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出結論．

（2）在等邊△OEF中，因為∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的長，根據S陰影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出結論．

解：（1）證明：作OC⊥AB于點C，

∵OC⊥AB，∴AC=BC．

∵AE=BF，∴EC=FC．

∵OC⊥EF，∴OE=OF．

∵∠EOF=60°，∴△OEF是等邊三角形．；

（2）∵在等邊△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，

∴∠A=∠AOE=30°．∴∠AOF=90°．

∵AO=10，∴OF= ．

∴, ．

∴．