Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3＝0（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，請(qǐng)問(wèn)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或或（﹣1，6）或；（3）存在，Q（﹣1，2）．

【解析】

（1）已知拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)CP＝PM時(shí)，②當(dāng)CM＝MP時(shí)，③當(dāng)CM＝CP時(shí)，可分別得出P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題解答．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），

∴，

解得：．

∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在，如圖1，

∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴其對(duì)稱(chēng)軸為，

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，a），

∴C（0，3），M（﹣1，0），

PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，

分類(lèi)討論：

（1）當(dāng)PC＝PM時(shí)，

（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（﹣1，）；

（2）當(dāng)MC＝MP時(shí)，

（﹣1）2+32＝a2，解得，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：或；

（3）當(dāng)CM＝CP時(shí)，

（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4（﹣1，6）．

綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或或P（﹣1，6）或．

（3）存在，Q（﹣1，2），

理由如下：如圖2，

點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q．

設(shè)直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+t（k≠0）．

將點(diǎn)A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，

解得，

所以，直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+1．

將x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．