Question

如圖1，⊙P的直徑AB的長為16，E為半圓的中點，F(xiàn)為劣弧

EB

上的一動點，EF和AB的延長線交于點C，過點C作AB的垂線交AF的延長線于點D；
（1）求證：BC=DC；
（2）以直線AB為x軸，線段PB的中垂線為y軸，建立如圖2的平面直角坐標(biāo)系xO_y，則點B的坐標(biāo)為（4，0），設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，n）若m，n是方程x²+px+p+8=0的兩根，求P的值；
（3）在（2）中的坐標(biāo)系中，直線y=kx+8上存在點H，使△ABH為直角三角形，若這樣的H點有且只有兩個，請直接寫出符合條件的k的值或取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）若求BC=DC，連接BD是顯然的，然后再討論∠BDC和∠DBC，而發(fā)現(xiàn)這兩個角都在圓外，而外部也無復(fù)雜圖象套含它們，所以常規(guī)作法顯然不好處理．故想到把它們也放在圓中，連接BF發(fā)現(xiàn)BF⊥FD，BC⊥CD，則若以BD為直徑畫圓，其圓必過F、C兩點，則利用圓周角、對頂角性質(zhì)可證∠BDC恰與劣弧

AE

的圓周角相等，因為E為中點，顯然為45°，則結(jié)論易證．
（2）綜合題，后問往往要用前問的結(jié)論，前問中BC=DC，本題利用可求出D（m，n）中，m與n的關(guān)系．在利用根與系數(shù)的關(guān)系列出方程即可討論p，但要注意還有討論兩根存在的前提△＞0．
（3）直線y=kx+8是一個恒過（0，8）的直線，其中k決定著傾斜角度，而若使△ABH為直角三角形，H點還要在以AB為直徑的圓上．作圓過（0，8）的兩條切線易知，直線在其中旋轉(zhuǎn)時交點都有兩個，則討論這兩個特殊情況下的k值是解決本題的突破口．

解答：（1）證明：連接BF，BD，以BD為直徑畫圓．

∵BF⊥FD，BC⊥CD，
∴F、C兩點必過以BD為直徑的圓，
∴∠DBC=∠DFC，
∴∠EFA=∠DFC=∠DBC．
∵∠EFA為劣弧

AE

的圓周角，且E為半圓的中點，
∴∠EFA=

1

2

•90°=45°．
在Rt△CDB中，
∵∠DBC=∠EFA=45°，
∴∠BDC=45°，
∴BC=CD．

（2）解：∵D（m，n），
∴C（m，0），
∵B（4，0），
∴BC=m-4，
∵BC=CD，
∴n=CD=m-4．
∴（m-n）²=4²=16
∵m、n為方程x²+px+p+8=0的兩根，
∴m+n=-p，mn=p+8，
∴16=（m-n）²=（m+n）²-4mn=p²-4p-32，
解得 p=2+2

13

或p=2-2

13

．
對方程x²+px+p+8=0，△=p²-4（p+8）=（p-8）（p+4），
∵方程有兩根，即△＞0，
∴p＜-4或p＞8，
∴p=2+2

13

或p=2-2

13

都符合要求，即此時p為2+2

13

或2-2

13

．

（3）答：k＜-

4

3

或k＞0時，使△ABH為直角三角形H點有且只有兩個．
分析如下：

如備用圖，即（0，8）為C，直線y=kx+8必過此點，
連接CE，過點C作CD與⊙P相切與D，連接PD交CO于G，過點D作DF⊥OB于F．
此時直線CE與⊙P相切，當(dāng)直線CE逆時針小范圍旋轉(zhuǎn)時，直線與圓有兩個交點，即使△ABH為直角三角形H點有且只有兩個；
由直線CD與⊙P相切，當(dāng)直線順時針小范圍旋轉(zhuǎn)時，直線與圓有兩個交點，即使△ABH為直角三角形H點有且只有兩個．
綜上，CE逆時針旋轉(zhuǎn)至CD的過程中，使△ABH為直角三角形H點有且只有兩個．下面討論k的情況．
①直線CE．此時為y=8，即k=0．
②直線CD．若連接PE，CP，易證△CEP≌△CDP，即CD=CE=4．
∵PO=4=CD，∠PGO=∠CGO，∠POG=∠CDG=90°，
∴△PGO≌△CGD，
∴設(shè)GO=x，PG=PD-GD=PD-GO=8-x，
在Rt△PGO中，由勾股定理得（8-x）²=4²+x²，
解得，x=3，
∴GO=3，PG=5．
∵GO∥DF，
∴

DF

GO

=

PD

PG

，
∴

DF

3

=

8

5

，
解得 DF=

24

5

，
同理，PF=

32

5

，
∴OF=PF-OP=

32

5

-4=

12

5

，
∴D（

12

5

，

24

5

），
∵D在直線CD：y=kx+8上，
∴代入解得 k=-

4

3

．
根據(jù)一次函數(shù)k的性質(zhì)可知：k＜-

4

3

或k＞0時，使△ABH為直角三角形H點有且只有兩個．

點評：本題難度較高，考查了圓、三角形、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系及一次函數(shù)系數(shù)性質(zhì)等相關(guān)知識，其中（1）輔助線的作法并不易想到，需要特殊留意．總體來說，綜合性極高，學(xué)生一定要加強理解．