Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q為AB邊的中點(diǎn)，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且△AQP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，則CP的長(zhǎng)為_______．

Answer 1

【答案】2、7或8．

【解析】

首先計(jì)算出QB的長(zhǎng)，再分三種情況：①如圖1，PQ=AQ=5時(shí)；②如圖2，AP=AQ=5時(shí)；③如圖3，PQ=AQ=5且△PBQ為鈍角三角形時(shí)分別計(jì)算出CP的長(zhǎng)即可．

解：∵AB=10，點(diǎn)Q是BA的中點(diǎn)，

∴AQ=BQ=BA=×10=5，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=10，∠B=∠C=∠D=90°，

①如圖1，PQ=AQ=5時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BA于E，
根據(jù)勾股定理，QE=，
∴BE=BQ+QE=5+3=8，
∴CP=BE=8；

②如圖2，AP=AQ=5時(shí)，

根據(jù)勾股定理，DP=，
∴CP=10-3=7；

③如圖3，PQ=AQ=5且△PBQ為鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BA于E，
根據(jù)勾股定理：QE=，
∵BE=QB-EQ=5-3=2，
∴CP=BE=2，
綜上所述，CP的長(zhǎng)為2或7或8．
故答案為：2、7或8．