Question

1．如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$4\sqrt{3}$，∠ABO=30°，動點P在線段AB上從點A向終點B以每秒$\sqrt{3}$個單位的速度運動，設運動時間為t秒，在直線OB上取兩點M、N作等邊△PMN．
（1）求當?shù)冗叀鱌MN的頂點M運動到與點O重合時t的值．
（2）如果取OB的中點C，以OC為邊在Rt△AOB內部作如圖2所示的矩形OCDE，點D在線段AB上，設等邊△PMN與矩形OCDE重疊部分的面積為S，請求出S與t（0≤t≤4）的函數(shù)關系式．
（3）在動點P從A向B的運動過程中，將△PMN沿著PN折疊，點M與點H重合，請問，是否存在點P和點H，使△PDH是等腰三角形？若存在，請直接寫出對應的t的值；若不存在，請說明理由．
（4）當點P到達D時，將△PMN繞著點P旋轉，射線PM、PN與線段OB交于S、T兩點，當∠BDT=15°時，線段TB和OS滿足什么數(shù)量關系？

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半即可求出AP，進而求出t的值；
（2）分三種情形討論①當0≤t≤1時，S=S_{四邊形EONG}，如圖2所示．②當1＜t＜2時，S=S_{五邊形IFONG}，如圖3所示．③當2＜t≤4時，s=s_{五邊形IMCFG}=s_梯形MCDI-s_△DGF如圖4所示分別求出面積即可．
（3）根據(jù)△PDH是等腰直角三角形，可以證明點N與點C重合，即可解決問題．
（4）利用△DCT是等腰直角三角形求出BT，利用△BDS是等腰三角形求出BS，OS即可解決問題．

解答 解：（1）由題意作圖，設當點M運動到與點O重合時，如圖1所示，
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠POB=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠A=60°，∠AOP=30°，
∴∠AP0=90°，
在Rt△APO中，AP=$\frac{1}{2}$AO=2$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2，
∴當?shù)冗叀鱌MN的頂點M運動到與點O重合時t的值為2；
（2）設PN與DE相交于點G，
①當0≤t≤1時，S=S_{四邊形EONG}，如圖2所示：
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴PD=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，PB=8$\sqrt{3}-\sqrt{3}$t，PM=PN=MN=8-t，DG=4-t
∴EG=ED-GD=6-（4-t）=2+t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
S=$\frac{1}{2}$（2+t+4+t）×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$；
②當1＜t＜2時，S=S_{五邊形IFONG}，如圖3所示：
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴AF=2$\sqrt{3}$t，
∴OF=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，
∴EF=2$\sqrt{3}$-（4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）
=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
∴EI=2t-2，
∴S=S_梯形EONG-S_△EFI
=2$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（2t-2）×（2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）
=-2$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$；
③2＜t≤4時，如圖4所示：
s=s_{五邊形IMCFG}=s_梯形MCDI-s_△DGF=$\frac{1}{2}$（8-2t+10-2t）•2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•（4-t）$•\sqrt{3}$（4-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+10$\sqrt{3}$．
綜上所述s=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}}&{（0≤t≤1）}\\{-2\sqrt{3}{t}^{2}+6\sqrt{3}t+4\sqrt{3}}&{（1＜t≤2）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+10\sqrt{3}}&{（2＜t≤4）}\end{array}\right.$
（3）存在．
如圖5，∵△PDH是等腰三角形，
∴∠DPH=∠PHD=30°，∵∠NPH=∠NHP=60°，
∴∠NPD=∠NDH=30°，
∵DP=DH，NP=NH，
∴ND垂直平分PH，
∵CD⊥PH，
∴C、N共點，
∴∠DCP=∠DCH=∠DPC=30°，
∴PD=2$\sqrt{3}$，
t=2，
∴t=2時，△PDH是等腰三角形．
（4）如圖5，∵∠TDB=15°，∠B=30°，
∴∠DTB=∠TDB+∠B=45°，
∵DC⊥OB，
∴DC=CT=2$\sqrt{3}$，BT=BC-CT=6-2$\sqrt{3}$，
∵∠SDB=∠SDT+∠YDB=75°，
∴∠DSB=180°-∠SDB-∠B=75°，
∴∠BDS=∠BSD，
∴SB=BD=4$\sqrt{3}$，
∴OS=OB-BS=12-4$\sqrt{3}$，
∴OS=2BT，
∴∠BDT=15°時，線段TB和OS滿足OS=2BT．

點評 本題考查等邊三角形、直角三角形的有關性質、特殊角的三角函數(shù)等知識，綜合性比較強，學會正確畫出圖形是解決問題的關鍵．