【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為20cm,∠ABC120°.動點PQ同時從點A出發(fā),其中P4cm/s的速度,沿ABC的路線向點C運動;Q2cm/s的速度,沿AC的路線向點C運動.當(dāng)P、Q到達終點C時,整個運動隨之結(jié)束,設(shè)運動時間為t秒.

1)在點P、Q運動過程中,請判斷PQ與對角線AC的位置關(guān)系,并說明理由;

2)若點Q關(guān)于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M,過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD(或CD)于點N

①當(dāng)t為何值時,點PM、N在一直線上?

②當(dāng)點PM、N不在一直線上時,是否存在這樣的t,使得PMN是以PN為一直角邊的直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1) 若0t≤5,則AP4t,AQ2t. 則 ==,

∵ AO10,AB20==.∴ =,

∠CAB30°∴ △APQ∽△ABO,∴ ∠AQP90°,即PQ⊥AC. ………………4

當(dāng)5﹤t≤10時,同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC90°,即PQ⊥AC(考慮一種情況即可)

在點P、Q運動過程中,始終有PQ⊥AC.

2如圖,在RtAPM中,易知AM=,又AQ2t

QM204t.

AQQMAM 2t204t

解得t=,當(dāng)t=時,點P、MN在一直線上. …………………………8

存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.

設(shè)lACH.

如圖1,當(dāng)點NAD上時,若PN⊥MN,則∠NMH30°.

∴ MH2NH,得 204t-=解得t2, …………………10

如圖2,當(dāng)點NCD上時,若PM⊥MN,則∠HMP30°.∴ MH2PH,同理可得t.

故 當(dāng)t2或 時,存在以PN為一直角邊的直角三角形. …………………12

【解析】

1)此問需分兩種情況,當(dāng)0t≤55t≤10兩部分分別討論得PQ⊥AC

2由于點P、M、N在一直線上,則AQ+QM=AM,代入求得t的值.

假設(shè)存在這樣的t,使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形,但是需分點NAD上時和點NCD上時兩種情況分別討論.

解答:解:(1)若0t≤5,則AP=4t,AQ=2t

==,

∵AO=10,AB=20,==

=.又∠CAB=30°,∴△APQ∽△ABO

∴∠AQP=90°,即PQ⊥AC

當(dāng)5t≤10時,同理,可由△PCQ∽△BCO∠PQC=90°,即PQ⊥AC

在點PQ運動過程中,始終有PQ⊥AC

2如圖,在Rt△APM中,∵∠PAM=30°AP=4t,

∴AM=

△APQ中,∠AQP=90°,

∴AQ=AP?cos30°=2t,

∴QM=AC-2AQ=20-4t

AQ+QM=AM得:2t+20-4

t=

解得t=

當(dāng)t=時,點P、M、N在一直線上.

存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.

設(shè)lACH

如圖1,當(dāng)點NAD上時,若PN⊥MN,則∠NMH=30°

∴MH=2NH.得20-4t-t=2×,解得t=2

如圖2,當(dāng)點NCD上時,若PM⊥PN,則∠HMP=30°

∴MH=2PH,同理可得t=

故當(dāng)t=2時,存在以PN為一直角邊的直角三角形.

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