Question

已知直線y=

1

2

x與y=

k

x

（k＞0）交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=

k

x

（k＞0）于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），由點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：計(jì)算題

分析：作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，AH⊥x軸于H，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），再利用A點(diǎn)坐標(biāo)確定反比例函數(shù)解析式為y=

8

x

，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得到四邊形APBQ為平行四邊形，則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到S_△OPA=

1

4

S_{平行四邊形APBQ}=6，由于S_矩形ONPM+S_梯形AHNP=S_△OPM+S_△OPA+S_△OAH，化簡反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義和梯形的面積公式有8+

1

2

（2+b）（4-a）=4+6+4，再把b=

8

a

代入得（2+

8

a

）（4-a）=12，解得a₁=2，a₂=-8（舍去），當(dāng)a=2，b=

8

a

=4，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．

解答：解：作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，AH⊥x軸于H，如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）
把x=4代入y=

1

2

x得y=2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），
把A（4，2）代入y=

k

x

得k=4×2=8，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

8

x

，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∴S_△OPA=

1

4

S_{平行四邊形APBQ}=

1

4

×24=6，
∵S_矩形ONPM+S_梯形AHNP=S_△OPM+S_△OPA+S_△OAH，
∴8+

1

2

（2+b）（4-a）=4+6+4，
∵b=

8

a

，
∴（2+

8

a

）（4-a）=12，
整理得a²+6a-16=0，解得a₁=2，a₂=-8（舍去），
當(dāng)a=2，b=

8

a

=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．
同理，當(dāng)四邊形BQPA是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（8，1）
故答案為（2，4）或（8，1）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．