Question

12．（1）嘗試探究：“如圖1，在□ABCD中，點E是BC邊上的中點，點G是射線CD上一點（點G不與點C重合），BG交AE于點F，若$\frac{AF}{EF}$=$\frac{5}{2}$，求$\frac{CG}{CD}$的值．”在解決這一問題時，我們可以過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關系是AB=$\frac{5}{2}$EH，CG和EH的數(shù)量關系是CG=2EH，$\frac{CG}{CD}$的值是$\frac{4}{5}$；
（2）類比延伸：如圖2，在□ABCD中，點E是BC邊上的點（點E不與B、C兩點重合），點G是射線CD上一點（點G不與點C重合），BG交AE于點F，若$\frac{AF}{EF}$=m，$\frac{BE}{EC}$=n，求$\frac{CG}{CD}$的值；（用含m、n的代數(shù)式表示，寫出解答過程）
（3）應用遷移：在□ABCD中，點E是BC邊上的點（點E不與B、C兩點重合），點G是射線CD上一點（點G不與點C重合），BG交AE于點F，若$\frac{AF}{EF}$=$\frac{35}{18}$，$\frac{DG}{CD}$=$\frac{2}{7}$，則$\frac{BE}{EC}$的值為$\frac{2}{3}$或$\frac{18}{7}$．

Answer 1

分析 （1）由EH∥AB，AB∥CD得到$\frac{EH}{AB}=\frac{EF}{AF}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{EH}{CG}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$，找到EH、AB、CG之間的關系即可解決問題．
（2）類似（1）通過平行成比例找到EH、AB、CG之間的關系即可解決問題．
（3）分兩種情形討論，找到AB、EH、CG之間個關系即可得出結論．

解答 解：（1）∵EH∥AB，AB∥CD，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{EF}{AF}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{EH}{CG}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$EH，CG=2EH，
∵AB=CD，
∴$\frac{CG}{AB}$=$\frac{CG}{DC}$=$\frac{4}{5}$．
故答案分別為AB=$\frac{5}{2}EH$，CG=2EH，$\frac{4}{5}$．
（2）過點E作EH∥AB交BG于點H，
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=m，AB=mEH$，∵AB=CD，∴CD=mEH，
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}=\frac{n+1}{n}$，
∴CG=$\frac{n+1}{n}EH$，
∴$\frac{CG}{CD}=\frac{\frac{n+1}{n}EH}{mEH}=\frac{n+1}{mn}$，
（3）①當點G在線段CD上時（見圖1），過點E作EH∥AB交BG于點H，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EH}=\frac{35}{18}$，$\frac{BE}{BC}=\frac{EH}{CG}$，
∴HE=$\frac{8}{35}AB$，
∵$\frac{DG}{CD}=\frac{2}{7}$，
∴$\frac{CG}{CD}=\frac{5}{7}$，
∴$\frac{EH}{CG}$=$\frac{18}{25}$，
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{EH}{CG}$=$\frac{18}{25}$，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{18}{7}$．
②當點G在CD的延長線上（見圖2），過點E作EH∥AB交BG于點H，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EH}=\frac{35}{18}$，$\frac{BE}{BC}=\frac{EH}{CG}$，
∴HE=$\frac{8}{35}AB$，
∵$\frac{DG}{CD}=\frac{2}{7}$，
∴$\frac{CG}{CD}=\frac{9}{7}$，
∴CG=$\frac{9}{7}CD$，
∴$\frac{HE}{CG}$=$\frac{2}{5}$，
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{EH}{CG}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{2}{3}$．
故答案為$\frac{2}{3}$或$\frac{18}{7}$．

點評 此題主要考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
（2）此題還考查了類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，以及數(shù)形結合思想的應用，要熟練掌握．