Question

【題目】如圖，以正五邊形的頂點為圓心，為半徑作圓弧交的延長線于點，再以點為圓心，為半徑作圓弧交的延長線于，依次進行……得到螺旋線，再順次連結，，，，，得到5塊陰影區(qū)域，若記它們的面積分別為，，，，，且滿足，則的值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意得，五個扇形的圓心角相等，所以面積比是半徑比的平方，根據面積比可表示出五個扇形面積，再根據底相等的三角形面積比等于高的比求出五個三角形的面積比并表示出來，從而分別求出各個陰影部分的面積，再根據即可求解.

解：因為扇形AEA′、扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE′D′圓心角相等，都是72°，半徑分別是正五邊形半徑、半徑的二倍、三倍、四倍、五倍，

由扇形面積公式可得，五個扇形面積從小到大的比是1:4:9:16:25，設：扇形AEA′的面積=m，則扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE′D′的面積依次為：4m、9m、16m、25m；△AEA′、△BB′A′、△CC′B′、△DD′C′、△EE′D′中，AE=AB=BC=CD=DE，AA′：BB′：CC′：DD′：EE′=1:2：3:4:5，五個三角形分別以AE、AB、BC、CD、DE為底，易證五個三角形的面積比依次為：1:2：3:4:5，設S△AEA′=n，

則S△BB′A′=2n、S△CC′B′=3n、S△DD′C′=4n、S△EE′D′=5n，所以S5=25m-5n ， S2=4m-2n ， S4=16m-4n ， S3=9m-3n ， 因為，所以（25m-5n）-（4m-2n）=1，解得：7m-n=，所以=（16m-4n）-（9m-3n）=7m-n=.

故選：D.