【題目】問(wèn)題背景

如圖1,在正方形ABCD的內(nèi)部,作DAE=ABF=BCG=CDH,根據(jù)三角形全等的條件,易得DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,從而得到四邊形EFGH是正方形。

類(lèi)比研究

如圖2,在正ABC的內(nèi)部,作BAD=CBE=ACF,AD,BE,CF兩兩相交于D,E,F(xiàn)三點(diǎn)(D,E,F(xiàn)三點(diǎn)不重合)。

(1)ABD,BCE,CAF是否全等?如果是,請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明;

(2)DEF是否為正三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系,設(shè),,,請(qǐng)?zhí)剿?/span>,滿足的等量關(guān)系。

【答案】(1)全等;證明見(jiàn)解析;(2)是,理由見(jiàn)解析;(3)c2=a2+ab+b2

【解析】

試題分析:(1)由正三角形的性質(zhì)得CAB=ABC=BCA=60°,AB=BC,證出ABD=BCE,由ASA證明ABD≌△BCE即可;、

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出ADB=BEC=CFA,證出FDE=DEF=EFD,即可得出結(jié)論;

(3)作AGBD于G,由正三角形的性質(zhì)得出ADG=60°,在RtΔADG中,DG=b,AG=b, 在RtΔABG中,由勾股定理即可得出結(jié)論.

試題解析: (1)ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下:

∵△ABC是正三角形,

∴∠CAB=ABC=BCA=60°,AB=BC,

∵∠ABD=ABC﹣2,BCE=ACB﹣3,2=3,

∴∠ABD=BCE,

ABD和BCE中,

,

∴△ABD≌△BCE(ASA);

(2)DEF是正三角形;理由如下:

∵△ABD≌△BCE≌△CAF,

∴∠ADB=BEC=CFA,

∴∠FDE=DEF=EFD,

∴△DEF是正三角形;

(3)作AGBD于G,如圖所示:

∵△DEF是正三角形,

∴∠ADG=60°,

在RtADG中,DG=b,AG=b,

在RtABG中,c2=(a+b)2+(b)2,

c2=a2+ab+b2

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C.24
D.8

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