Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD=$2\sqrt{3}$，△DEF是等邊三角形，連結(jié)BF、AF．
（1）求證：四邊形ADEB為矩形．
（2）求△BEF的面積．

Answer 1

分析 （1）求出AD=BE，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ADEB是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）求出DE，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠DEF=60°，EF=DE=3，求出∠FEB的度數(shù)，求出高FM的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答 （1）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，
∴AD=BE，
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四邊形ADEB是平行四邊形，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形ADEB是矩形；

（2）解：過(guò)F作FM⊥BE，交EB的延長(zhǎng)線于M，則∠M=90°，
∵四邊形ADEB是矩形，
∴∠DEB=90°，
∴∠DEC=90°，
∵BC=2$\sqrt{3}$，E為BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE=$\sqrt{3}$，
∵∠C=60°，
∴DE=$\sqrt{3}$CE=3，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠DEF=60°，EF=DE=3，
∴∠FEB=90°-60°=30°，
∴FM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴△BEF的面積是$\frac{1}{2}$×BE×FM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．