Question

15．如圖，在?ABCD中，∠BAC=90°，對角線AC，BD相交于點P，以AB為直徑的⊙O分別交BC，BD于點E，Q，連接EP并延長交AD于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：EF²=4BP•QP．

Answer 1

分析 （1）連接OE，AE，由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=∠AEC=90°，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由AB是⊙O的直徑，得到∠AQB=90°根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∴PA²=PB•PQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PF=PE，求得PA=PE=$\frac{1}{2}$EF，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接OE，AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴PA=PC，
∴PA=PC=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OEP=∠OAC=90°，
∴EF是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AQB=90°，
∴△APQ∽△BPA，
∴$\frac{PA}{BP}=\frac{PQ}{PA}$，
∴PA²=PB•PQ，
在△AFP與△CEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAF=∠PCE}\\{∠APF=∠CPE}\\{PA=PC}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△CEP，
∴PF=PE，
∴PA=PE=$\frac{1}{2}$EF，
∵PE²=PB•PQ=（$\frac{1}{2}$EF）²，
∴EF²=4BP•QP．

點評 本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．