Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的一邊AB在x軸上,∠ABC=90°,點C(4,8)在第一象限內,AC與y軸交于點E,拋物線y= +bx+c經過A. B兩點,與y軸交于點D(0,6).

(1)請直接寫出拋物線的表達式；

(2)求ED的長；

(3)點P是x軸下方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m，△PAC的面積為S，試求出S與m的函數(shù)關系式；

(4)若點M是x軸上一點(不與點A重合)，拋物線上是否存在點N，使∠CAN=∠MAN.若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）DE=+6=；（3）S= (2<m<4)；（4）N點坐標為( );( )

【解析】

（1）先確定B（4，0），再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為

（2）先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y= ，則可確定E（0， ），然后計算DE的長；

（3）如圖1，作PQ∥y軸交AC于Q，設P（m，-6），則Q（m，），則PQ=-，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ計算即可；

（4）如圖2，當點M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，則F（4，3），接著求出直線AF的解析式為y=x+1，于是通過解方程組 得N點坐標為（ ）；當點M′在x的負半軸上時，AN′交y軸與G，先在證明Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下來利用待定系數(shù)法求出直線AG的解析式為y=-2x-4，然后解方程組 得N的坐標．

(1)∵BC⊥x軸,點C(4,8)，

∴B(4,0)，

把B(4,0),C(0,6)代入y=+bx+c得 ,解得 ，

∴拋物線解析式為；

(2)設直線AC的解析式為y=px+q，

把A(2,0),C(4,8)代入得 ,解得 ，

∴直線AC的解析式為y=，

當x=0時,y== ,則E(0, )，

∴DE=+6= ；

(3)如圖1,作PQ∥y軸交AC于Q，

設P（m，-6），則Q（m，），

∴PQ=-，

∴S=S△PAQ+S△PCQ=6PQ= (2<m<4)；

(4)如圖2,當點M在x的正半軸,AN交BC于F,作FH⊥AC于H,則FH=FB,

易得AH=AB=6，

∵AC== =10，

∴CH=106=4，

∵cos∠ACB= ，

∴CF= =5，

∴F(4,3)，

易得直線AF的解析式為y= x+1，

解方程組得 或 ，

∴N點坐標為()；

當點M′在x的負半軸上時,AN′交y軸與G，

∵∠CAN′=∠M′AN′，

∴∠KAM′=∠CAK，

而∠CAN=∠MAN，

∴∠KAC+∠CAN=90°，

而∠MAN+∠AFB=90°，

∴∠KAC=∠AFB，

而∠KAM′=∠GAO，

∴∠GAO=∠AFB，

∴Rt△OAG∽Rt△BFA，

∴ ,即 ，解得OG=4，

∴G(0,4)，

易得直線AG的解析式為y=2x4，

解方程組得或 ，

∴N′的坐標為()，

綜上所述,滿足條件的N點坐標為( );( )