【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A的坐標是4,0,且OA=OC=4OB,動點P在過A,B,C三點的拋物線上.

1求拋物線的表達式;

2在拋物線上是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】1拋物線的表達式是y=-x2+3x+4;2存在,點P的坐標為-2,-62,6

【解析】

試題分析:1先由已知條件求出B、C兩點的坐標,再設(shè)拋物線的表達式是y=ax2+bx+c,將A,B,C三點的坐標代入,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式;

21中所求解析式可設(shè)點P的坐標為m,-m2+3m+4.當△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時,可分兩種情況進行討論:①以點A為直角頂點;②以點C為直角頂點;利用勾股定理分別列出關(guān)于m的方程,解方程即可.

試題解析:1∵點A的坐標是4,0

∴OA=4,

∵OA=OC=4OB,

∴OC=OA=4,OB=OA=1,

∴點C的坐標是0,4,點B的坐標是-1,0

設(shè)拋物線的表達式是y=ax2+bx+c,由題意得

,解得,

∴拋物線的表達式是y=-x2+3x+4;

2存在.

設(shè)點P的坐標為m,-m2+3m+4

∵A4,0,C0,4,

∴AC2=42+42=32,AP2=m-42+-m2+3m+42,CP2=m2+-m2+3m2

當△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時,可分兩種情況:

①如圖1,如果點A為直角頂點,那么AC2+AP2=CP2,

即32+m-42+-m2+3m+42=m2+-m2+3m2,

整理得m2-2m-8=0,

解得m1=-2,m2=4不合題意舍去,

則點P的坐標為-2,-6;

②如圖2,如果點C為直角頂點,那么AC2+CP2=AP2,

即32+m2+-m2+3m2=+m-42+-m2+3m+42,

整理得m2-2m=0,

解得m1=2,m2=0不合題意舍去

則點P的坐標為2,6

綜上所述,所有符合條件的點P的坐標為-2,-62,6

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