Question

如圖，四邊形AOBC為直角梯形，OC=，OB=5AC，OC所在的直線的函數(shù)解析式為y=2x，平行于OC的直線m的解析式為y=2x+t．直線m由A點平移到B點時，m與直角梯形AOBC兩邊所圍成的三角形的面積記為S．
（1）求點C的坐標及t的取值范圍；
（2）求S與t之間的函數(shù)關系式及當S=1.8時，t的值．

Answer 1

解：（1）設C（x，2x）（x＞0）．
根據(jù)勾股定理，得x²+（2x）²=5，
則x=1，
即C（1，2）．
所以A（0，2），B（5，0）．
當直線m過點A時，則t=2；
當直線m過點B時，則t=-10．
所以-10≤t≤2．

（2）當0≤t≤2時，直線與y軸的交點是（0，t），與AC的交點是（1-，2），
則S=•（2-t）•（1-）=t²-t+1，
此時若S=1.8，則t²-t+1=1.8，解，得t=2±，
又∵0≤t≤2，則t=2-；
當-10≤t≤0時，則直線與x軸的交點是（-，0）．
作DE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，則△BDE∽△BCF，則==，
即設D（5-2a，a），
則有a=2（5-2a）+t，
a=2+，
則S=•（5+）（2+）=+t+5．
此時若S=1.8，則+t+5=1.8，解得t=-2或-18，
又∵-10≤t≤0，則t=-2．
分析：（1）根據(jù)直線y=2x的解析式結合勾股定理即可求得點C的坐標，根據(jù)點A和點B的坐標即可求得t的取值范圍；
（2）分兩種情況考慮：當0≤t≤2時，直線與y軸的交點是（0，t），與AC的交點是（1-，2），則S=•（2-t）•（1-）=t²-t+1；當-10≤t≤0時，則直線與x軸的交點是（-，0）．作DE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，則△BDE∽△BCF，則==，即設D（5-2a，a），則有a=2（5-2a）+t，a=2+，則S=•（5+）（2+）=+t+5．根據(jù)S的解析式進一步求得S=1.8時對應的t值．
點評：此題運用了數(shù)形結合的思想，考查了直線和坐標軸的交點求解方法，能夠分情況討論解決問題．