Question

如圖，四邊形AOBC為直角梯形，OC=

5

，OB=5AC，OC所在的直線方程為y=2x，平行于OC的直線l為：y=2x+t，l由A點(diǎn)平移到B點(diǎn)時(shí)，l與直角梯形AOBC兩邊所圍成的三角形的面積記為S．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求t的取值范圍；
（3）求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镺C=

5

，OB=5AC，OC所在的直線方程為y=2x，所以可設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)勾股定理可得x²+y²=5，再把y=2x代入，即可求出x的值，進(jìn)而求出答案；
（2）因?yàn)槠叫杏贠C的直線l為：y=2x+t，l由A點(diǎn)平移到B點(diǎn)，由（1）求出OB的長，即求出了B的坐標(biāo)，然后分別求出直線過點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（5，0）時(shí)的值，就求出了t的最大值和最小值，從而求出t的范圍；
（3）根據(jù)直線和OC的位置關(guān)系，需個(gè)情況討論：
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，求出l與y軸交于F（0，t），連接OC，利用l∥OC，得到相似三角形，即可找出面積間的關(guān)系S：（2×1÷2）=（2-t）²：2²，求出答案；
②當(dāng)-10≤t≤0時(shí)，求出l與x軸交于E（-

t

2

，0），利用l∥OC，得到相似三角形，即可找出面積間的關(guān)系

S

1 2 ×5×2

=（

5+ t 2

5

）²，求出答案．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意，得：
x²+y²=5，
又因OC所在的直線方程為y=2x，
∴（2x）²+x²=5，
∴x₁=1，x₂=-1（舍去），
∴C（1，2）；

（2）∵C（1，2），
∴OA=2，AC=1，OB=5AC=5，
∴B（5，0），
若y=2x+t過點(diǎn)A（0，2），則t=2，
若y=2x+t過點(diǎn)B（5，0），則t=-10，
∴-10≤t≤2；

（3）有兩種情況：
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，
l與y軸交于F（0，t），連接OC，
∵l∥OC，OF=t，AF=2-t，
∴S：（2×1÷2）=（2-t）²：2²，
∴S=

1

4

（2-t）²
②當(dāng)-10≤t≤0時(shí)，
∵l與x軸交于E（-

t

2

，0），
∴OE=-

t

2

，BE=5+

t

2

，
∵l∥OC
∴

S

1 2 ×5×2

=（

5+ t 2

5

）²，
∴S=

1

5

（5+

1

2

t）²．

點(diǎn)評：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖象，利用平行線間的關(guān)系、勾股定理、分情況討論即可解決問題．