【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上,AC∥OB,BC⊥OB,過點(diǎn)A的雙曲線y= 的一支在第一象限交梯形對角線OC于點(diǎn)D,交邊BC于點(diǎn)E.
(1)填空:雙曲線的另一支在第象限,k的取值范圍是;
(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2),當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí),陰影部分的面積S最小?
(3)若 = ,S△OAC=2,求雙曲線的解析式.
【答案】
(1)三;k>0
(2)
解:∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上,AC∥OB,BC⊥OB,
而點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2),
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),
把y=2代入y= 得x= ;把x=2代入y= 得y= ,
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,2),E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, ),
∴S陰影部分=S△ACE+S△OBE
= ×(2﹣ )×(2﹣ )+ ×2×
= k2﹣ k+2
= (k﹣2)2+ ,
當(dāng)k﹣2=0,即k=2時(shí),S陰影部分最小,最小值為 ;
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn),
∴當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí),陰影部分的面積S最;
(3)
解:設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a, ),
∵ = ,
∴2OD=OC,即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn),
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(2a, ),
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ,
把y= 代入y= 得x= ,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為( , ),
∵S△OAC=2,
∴ ×(2a﹣ )× =2,
∴k= ,
∴雙曲線的解析式為y= .
【解析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)得到:雙曲線y= 的一支在第一象限,則k>0,得到另一支在第三象限;(2)根據(jù)梯形的性質(zhì),AC∥x軸,BC⊥x軸,而點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2),則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),再分別把y=2或x=2代入y= 可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,2),E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, ),然后計(jì)算S陰影部分=S△ACE+S△OBE= ×(2﹣ )×(2﹣ )+ ×2× = k2﹣ k+2,配方得 (k﹣2)2+ ,當(dāng)k=2時(shí),S陰影部分最小值為 ,則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn);(3)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a, ),由 = ,則2OD=OC,即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn),于是C點(diǎn)坐標(biāo)為(2a, ),得到A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ,把y= 代入y= 得x= ,確定A點(diǎn)坐標(biāo)為( , ),根據(jù)三角形面積公式由S△OAC=2得到 ×(2a﹣ )× =2,然后解方程即可求出k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(3,2)、(﹣1,0),若將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BA′,則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 .
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【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖①,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點(diǎn)B在線段AE上,點(diǎn)C在線段AD上,請直接寫出線段BE與線段CD的數(shù)量關(guān)系: ;
(2)操作探究
如圖②,將圖①中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0<α<360),請判斷線段BE與線段CD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AC上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)D,連接AE.
(1)求證:AE平分∠CAB;
(2)探求圖中∠1與∠C的數(shù)量關(guān)系,并求當(dāng)AE=EC時(shí)tanC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是等邊三角形,在直線AC、直線BC上分別取點(diǎn)D和點(diǎn)且AD=CE,直線BD、AE相交于點(diǎn)F.
(1)如圖1所示,當(dāng)點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在線段CA、BC上時(shí),求證:BD=AE;
(2)如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在CA、BC的延長線時(shí),求∠BFE的度數(shù);
(3)如圖3所示,在(2)的條件下,過點(diǎn)C作CM∥BD,交EF于點(diǎn)M,若DF:AF:AM=1:2:4,BC=12,求CE的長度.
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【題目】閱讀材料:
如圖①,若點(diǎn)B把線段分成兩條長度相等的線段AB和BC,則點(diǎn)B叫做線段AC的中點(diǎn).
回答問題:
(1)如圖②,在數(shù)軸上,點(diǎn)A所表示的數(shù)是﹣2,點(diǎn)B所表示的數(shù)是0,點(diǎn)C所表示的數(shù)是3.
①若A是線段DB的中點(diǎn),則點(diǎn)D表示的數(shù)是 ;
②若E是線段AC的中點(diǎn),求點(diǎn)E表示的數(shù).
(2)在數(shù)軸上,若點(diǎn)M表示的數(shù)是m,點(diǎn)N所表示的數(shù)是n,點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn).
①若點(diǎn)P表示的數(shù)是1,則m、n可能的值是 (填寫符合要求的序號(hào));
(i)m=0,n=2;(ii)m=﹣5,n=7;(iii)m=0.5,n=1.5;(iv)m=﹣1,n=2
②直接用含m、n的代數(shù)式表示點(diǎn)P表示的數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,下列各組圖形中,由左邊變成右邊的圖形,分別進(jìn)行了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、中心對稱等變換,其中進(jìn)行平移變換的是________,進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的是________,進(jìn)行軸對稱變換的是______,進(jìn)行中心對稱變換的是______.(填序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,CO⊥AB于點(diǎn)O,CD是⊙O的切線,切點(diǎn)為D.連接BD,交OC于點(diǎn)E.
(1)求證:∠CDE=∠CED;
(2)若AB=13,BD=12,求DE的長.
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