Question

2．已知：等腰△ABC中，AB=AC，點D是直線AC上一動點，點E在BD的延長線上，且AB=AE，∠CAE的角平分線所在的直線交BE于F，連結CF．
（1）如圖1，當點D在線段AC上時，求證：∠ABE=∠ACF；
（2）如圖2，當∠ABC=60°且點D在線段AC上時，求證：AF+EF=FB．（提示：將線段FB拆分成兩部分）
（3）①如圖3，當∠ABC=45°其點D在線段AC上時，線段AF、EF、FB仍有（2）中的結論嗎？若有，加以證明；若沒有，則有怎樣的數(shù)量關系，直接寫出答案即可．
②如圖4，當∠ABC=45°且點D在CA的延長線時，請你按題意將圖形補充完成．并直接寫出線段AF、EF、FB的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）證△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根據(jù)等腰三角形性質推出∠E=∠ABE，即可得出答案；
（2）在FB上截取BM=CF，連接AM，證△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等邊三角形，推出MF=AF，即可得出答案；
（3）①在FB上截取BM=CF，連接AM，證△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等腰直角三角形，推出MF=$\sqrt{2}$AF，即可得出答案；
②只需在CF上截取CG=BF，先證△AFE≌△AFC，得出CF=EF，再證△ABF≌△ACG，得出△AFG是等腰直角三角形，然后結論顯然．

解答 證明：（1）如圖1，
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）在FB上截取BM=CF，連接AM，如圖2，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACF}\\{BM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF為等邊三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=BM+MF=FB，
即AF+EF=FB；
（3）①線段AF、EF、FB不是（2）中的結論，線段AF、EF、FB的數(shù)量關系為$\sqrt{2}$AF+EF=FB，理由如下：
在FB上截取BM=CF，連接AM，如圖3，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF=BM，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACF}\\{BM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=90°，
∵AM=AF，
∴△AMF為等腰直角三角形，
∴MF=$\sqrt{2}$AF，
∴FB=BM+MF=EF+$\sqrt{2}$AF，
即$\sqrt{2}$AF+EF=FB；
②如圖4，在CF上截取CG=BF，連接AG，

在△AFE和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFC（SAS），
∴FE=FC，∠FEA=∠FCA，
∵AB=AE，
∴∠ABF=∠AEF=∠ACF，
在△ABF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CG}\\{∠FBA=∠GCA}\\{BA=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴AG=AF，∠FAB=∠GAC，
∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴FAG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴FG=$\sqrt{2}$AF，
∵CF=CG+GF，
∴CF=BF+$\sqrt{2}$AF，
∴EF=BF+$\sqrt{2}$AF．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、角平分線的性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識點，難度中等．熟悉各種特殊三角形的性質、全等三角形的判定方法以及正確作出輔助線是解答的關鍵．