Question

14．“十字相乘法”能把二次三項(xiàng)式分解因式，對(duì)于形如ax²+bxy+cy²的x，y二次三項(xiàng)式來說，方法的關(guān)鍵是把x²項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a₁，a₂的積，即a=a₁•a₂，把y²項(xiàng)系數(shù)c分解成兩個(gè)因數(shù)，c₁，c₂的積，即c=c₁•c₂，并使a₁•c₂+a₂•c₁正好等于xy項(xiàng)的系數(shù)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax²+bxy+cy²=（a₁x+c₁y）（a₂x+c₂y）
例：分解因式：x²-2xy-8y²
解：如右圖，其中1=1×1，-8=（-4）×2，而-2=1×（-4）+1×2∴x²-2xy-8y²=（x-4y）（x+2y）
而對(duì)于形如ax²+bxy+cy²+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解，
如圖1，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；

例：分解因式：x²+2xy-3y²+3x+y+2
解：如圖2，其中1=1×1，-3=（-1）×3，2=1×2；
而2=1×3+1×（-1），1=（-1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x²+2xy-3y²+3x+y+2=（x-y+1）（x+3y+2）
請(qǐng)同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：
（1）分解因式：6x²-7xy+2y²=（2x-y）（3x-2y）x²-6xy+8y²-5x+14y+6=（x-2y-2）（x-4y-3）
（2）若關(guān)于x，y的二元二次式x²+7xy-18y²-5x+my-24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值．
（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足x²+3xy+2y²+2x+4y=-1，求x，y．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合題意畫出圖形，即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合題意畫出圖形，即可得出結(jié)論；
（3）將等式左邊先用十字相乘法分解因式，再提取公因式，將右邊-1改寫成1×（-1）的形式，由x、y均為整數(shù)可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖3，

其中6=2×3，2=（-1）×（-2）；而-7=2×（-3）+3×（-1）；
∴6x²-7xy+2y²=（2x-y）（3x-2y）．
如圖4，

其中1×1=1，（-2）×（-4）=8，（-2）×（-3）=6；
而-6=1×（-4）+1×（-2），-5=1×（-3）+1×（-2），14=（-2）×（-3）+（-4）×（-2）；
∴x²-6xy+8y²-5x+14y+6=（x-2y-2）（x-4y-3）．
故答案為：（2x-1）（3x-2）；（x-2y-2）（x-4y-3）．
（2）如圖5，

∵關(guān)于x，y的二元二次式x²+7xy-18y²-5x+my-24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，
∴存在：其中1×1=1，9×（-2）=-18，（-8）×3=-24；
而7=1×（-2）+1×9，-5=1×（-8）+1×3，m=9×3+（-2）×（-8）=43或m=9×（-8）+（-2）×3=-78．
故若關(guān)于x，y的二元二次式x²+7xy-18y²-5x+my-24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，m的值為43或者-78．
（3）∵x²+3xy+2y²+2x+4y=（x+2y）（x+y）+2（x+2y）=（x+2y）（x+y+2）=-1=1×（-1），且x、y為整數(shù)，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{x+y+2=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=-1}\\{x+y+2=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-7}\\{y=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$．
故當(dāng)x=-7時(shí)，y=4；當(dāng)x=-1時(shí)，y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解中的十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是：依照題意找到相應(yīng)的十字相乘的圖形．本題難度不大，（1）（2）小問問題不大，（3）中用到十字相乘法與提取公因式法，再將等式右邊-1分解成1×（-1），由x、y均為整數(shù)來得出二元一次方程組．