【題目】如圖:AD與⊙O相切于點D,AF經(jīng)過圓心與圓交于點E、F,連接DE、DF,且EF=6,AD=4.
(1)證明:AD2=AEAF;
(2)延長AD到點B,使DB=AD,直徑EF上有一動點C,連接CB交DF于點G,連接EG,設(shè)∠ACB=α,BG=x,EG=y.
①當(dāng)α=900時,探索EG與BD的大小關(guān)系?并說明理由;
②當(dāng)α=1200時,求y與x的關(guān)系式,并用x的代數(shù)式表示y.
【答案】(1)證明見解析;(2)①當(dāng)α=90°時,EG>BD,理由見解析;②當(dāng)α=120°時,y= .
【解析】試題分析:(1)連接OD,由AD是⊙O的切線,根據(jù)切線的性質(zhì)可得OD⊥AD,即∠ADE+∠EDO=90°,再由EF是直徑,根據(jù)圓周角定理的推論可得∠EDF=90°,即∠EDO+∠ODF=90°,即可得∠ADE=∠ODF,再由OD=OF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODF=∠OFD,所以∠ADE=∠OFD,即可判定△ADE∽△AFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 ,即AD2=AEAF;(2)①當(dāng)α=90°時,EG>BD,理由如下:取EG的中點H,連接CH、DH、CD,在Rt△EDG、Rt△ECG中,點H為EG的中點,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CH=EH=GH=DH= EG,根據(jù)圓的定義即可判定點C、E、D、G在以點H為圓心,EG為直徑的圓上,根據(jù)直徑是圓中最長的弦可得EG>CD,在Rt△ABC中,DB=AD,再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CD= DB=AD=AB,即可得結(jié)論EG>BD;②當(dāng)α=120°時,將△ADE繞著點D旋轉(zhuǎn)180°,得到△BDP,連接GP,由(1)AD2=AEAF可得16=AE(AE+6),解得AE=2或AE=-8(舍去),因△ADE≌△BDP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ED=DP,AE=BP=2,∠A=∠DBP,再由∠EDF=90°可得DG垂直平分EP,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得GE=GP=y,因∠A+∠ABC=180°-120°=60°所以∠DBP+∠ABC=60°,即∠GBP=60°;過點P作PQ⊥BG,在Rt△BPQ中,∠GBP=60°,BP=2,可求得BQ=1,PQ= ,所以GQ=BG-BQ=x-1,在Rt△GPQ中, PQ=,GQ=x-1,GP=y,由勾股定理可得PG2=GQ2+PQ2,即y2=(x-1) 2+( ) 2 ,整理即可得y= .
試題解析:
(1)證明:連接OD
∵AD是⊙O的切線
∴OD⊥AD,即∠ADE+∠EDO=90°
∵EF是直徑
∴∠EDF=90°,即∠EDO+∠ODF=90°
∴∠ADE=∠ODF
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD
∴∠ADE=∠OFD
∴△ADE∽△AFD
∴,即
(2)①當(dāng)時,EG>BD
理由如下:取EG的中點H,連接CH、DH、CD,
∵Rt△EDG、Rt△ECG,點H為EG的中點
∴CH=EH=GH=DH=
∴點C、E、D、G在以點H為圓心,EG為直徑的圓上
∴EG>CD
∵Rt△ABC, DB=AD
∴CD= DB=AD=
∴EG>BD
②當(dāng)時
將△ADE繞著點D旋轉(zhuǎn)180°,得到△BDP,連接GP
由(1)得: ,解得AE=2或AE=-8(舍去)
∴△ADE≌△BDP
∴ED=DP,AE=BP=2,∠A=∠DBP
∵∠EDF=90°
∴DG垂直平分EP
∴GE=GP=
∵∠A+∠ABC=180°-120°=60°
∴∠DBP+∠ABC=60°,即∠GBP=60°
過點P作PQ⊥BG
在Rt△BPQ中,∠GBP=60°,BP=2
∴BQ=1,PQ=
∴GQ=BG-BQ= -1
在Rt△GPQ中, PQ=,GQ= -1,GP=
∴
即
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直角坐標(biāo)系中有一矩形OABC,其中O是坐標(biāo)原點,點A,C分別在x軸和y軸上,點B的坐標(biāo)為(3,4),直線交AB于點D,點P是直線位于第一象限上的一點,連接PA,以PA為半徑作⊙P,
(1)連接AC,當(dāng)點P落在AC上時, 求PA的長;
(2)當(dāng)⊙P經(jīng)過點O時,求證:△PAD是等腰三角形;
(3)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,
①在點P移動的過程中,當(dāng)⊙P與矩形OABC某一邊的交點恰為該邊的中點時,求所有滿足要求的m值;
②如圖2,記⊙P與直線的兩個交點分別為E,F(點E在點P左下方),當(dāng)DE,DF滿足時,求m的取值范圍.(請直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面各組數(shù)中,相等的一組是( )
A.﹣22與(﹣2)2
B. ?與( )3??
C.﹣|﹣2|與﹣(﹣2)
D.(﹣3)3與﹣33
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為a cm的正方形內(nèi),截去兩個以正方形的邊長a cm為直徑的半圓,(結(jié)果保留π)
(1)圖中陰影部分的周長為cm.
(2)圖中陰影部分的面積為cm2 .
(3)當(dāng)a=4時,求出陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=mxm-1+(m-1)是一次函數(shù),則( )
A. m≠0 B. m=2 C. m=2或4 D. m>2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列事件是隨機(jī)事件的為 ( )
A. 一個圖形旋轉(zhuǎn)后所得的圖形與原來的圖形不全等
B. 元旦是晴天
C. y=(a+1)x+bx+c(a,b,c是常數(shù))是二次函數(shù)
D. 在圓中任意畫一個圓內(nèi)接四邊形,對角互補(bǔ)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘輪船以18海里/時的速度由西向東方向航行,行至A處測得燈塔P在它的北偏東60°的方向上,繼續(xù)向東行駛20分鐘后,到達(dá)B處又測得燈塔P在它的北偏東45°方向上,求輪船與燈塔的最短距離.(精確到0.1, ≈1.73)
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