Question

4．如圖，邊長為1的正方形OABC的頂點O為坐標(biāo)原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上．動點D在線段BC上移動（不與B，C重合），連接OD，過點D作DE⊥OD，交邊AB于點E，連接OE．記CD的長為t．
（1）當(dāng)t=$\frac{1}{3}$時，求直線DE的函數(shù)表達(dá)式：
（2）如果記梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)OD²+DE²取最小值時，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過角的計算找出∠CDO=∠BED，從而得出Rt△CDO∽Rt△BED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{CD}{BE}=\frac{CO}{BD}$，代入數(shù)據(jù)求出BE，即可得出點E的坐標(biāo)，根據(jù)點D、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線DE的函數(shù)表達(dá)式；
（2）假設(shè)存在最大值，根據(jù)Rt△CDO∽Rt△BED可得出$\frac{CD}{BE}=\frac{CO}{BD}$，求出BE=t-t²，再根據(jù)梯形的面積公式用t表示出S，配方后即可得出結(jié)論；
（3）在Rt△ODE中，由勾股定理即可得出OD²+DE²=OE²，進(jìn)而得出當(dāng)OD²+DE²最小時OE最小，在Rt△OAE中，當(dāng)OE最小時，AE最小，由此即可得出當(dāng)OD²+DE²最小時，梯形COEB的面積達(dá)到最大值，結(jié)合（2）的結(jié)論即可求出點E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵DE⊥OD，
∴∠CDO+∠BDE=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BED+∠BDE=90°，
∴∠CDO=∠BED，
∴Rt△CDO∽Rt△BED，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{CO}{BD}$，即$\frac{\frac{1}{3}}{BE}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$，
∴BE=$\frac{2}{9}$，E（1，$\frac{7}{9}$）．
設(shè)直線DE的一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
將D（$\frac{1}{3}$，1）、E（1，$\frac{7}{9}$）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}k+b=1}\\{k+b=\frac{7}{9}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{10}{9}}\end{array}\right.$，
∴直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{9}$．
（2）假設(shè)存在最大值．
由（1）Rt△CDO∽Rt△BED，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{CO}{DB}$，即$\frac{t}{BE}=\frac{1}{1-t}$，
∴BE=t-t²，
S=$\frac{1}{2}$BC•（OC+BE）=$\frac{1}{2}$×1×（t-t²）=-$\frac{1}{2}$$（t-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{5}{8}$．
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，S取最大值，最大值為$\frac{5}{8}$．
（3）在Rt△ODE中，OD²+DE²=OE²，
∴當(dāng)OD²+DE²取最小值時，斜邊OE取最小值，
∴當(dāng)斜邊OE取最小值時且一直角邊OA為定值時，另一直角邊AE達(dá)到最小值，
∴△OEA的面積達(dá)到最小值，
此時，梯形COEB的面積達(dá)到最大值．
由（2）可知：當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，梯形COEB的面積達(dá)到最大值，
∴BE=$\frac{1}{2}$-$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
此時點E的坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理以及利用配方法求二次函數(shù)最值，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出直線DE的表達(dá)式；（2）根據(jù)梯形的面積公式表示出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）找出當(dāng)OD²+DE²最小時，梯形COEB的面積達(dá)到最大值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出對應(yīng)邊的比是關(guān)鍵．